Задачи аттосекундной физики требуют решения уравнений квантовой
механики с предельно высокой точностью во временно́й области. Центральным
объектом выступает зависящее от времени уравнение Шрёдингера (ЗВУШ),
описывающее динамику электронов и ионов в сильных лазерных полях.
Аналитическое решение таких задач практически невозможно, поэтому
основное внимание уделяется численным методам, основанным на
дискретизации пространства и времени.
Наиболее часто применяются методы прямой интеграции ЗВУШ, методы
спектрального разложения, а также гибридные алгоритмы, сочетающие
локальные и глобальные представления волновой функции.
Дискретизация по
координате и времени
Пространственная дискретизация. Волновая функция
разлагается на сетке в конфигурационном пространстве. Основные
схемы:
- Метод конечных разностей (finite-difference method)
— прост в реализации, особенно в одномерных моделях. Аппроксимирует
вторую производную с помощью дискретных операторов Лапласа. Однако
требует мелкой сетки для сохранения точности при сильных колебаниях
волновой функции.
- Метод конечных элементов (finite-element method) —
позволяет использовать локальные базисные функции в отдельных сегментах
пространства. Хорошо справляется со сложными геометриями и многомерными
задачами.
- Метод псевдоспектральных сеток — опирается на
преобразование Фурье. Волновая функция представляется через
гармонические моды, что обеспечивает высокую точность при относительно
малом числе узлов сетки.
Временная дискретизация. Существует несколько схем
интегрирования временной эволюции:
- Метод Кранка–Николсон — неявная схема, сохраняющая
унитарность эволюции. Широко применяется при интегрировании ЗВУШ.
- Методы Рунге–Кутты высокого порядка — обеспечивают
гибкость и контроль точности, но при длительных расчетах могут
накапливать ошибки.
- Алгоритмы расщепления по времени (split-operator
method) — один из ключевых методов в аттосекундной физике. Оператор
эволюции раскладывается на кинетический и потенциальный вклады, которые
интегрируются поочередно, что значительно снижает вычислительные
затраты.
Метод расщепления операторов
Для гамильтониана вида
Ĥ = T̂ + V̂,
где T̂ — кинетический
оператор, V̂ — потенциальный,
оператор временной эволюции можно записать как:
e−iĤΔt/ℏ ≈ e−iT̂Δt/2ℏ e−iV̂Δt/ℏ e−iT̂Δt/2ℏ.
Данное приближение второго порядка по времени сохраняет унитарность и
позволяет эффективно использовать быстрое преобразование Фурье (БПФ) для
перехода между представлениями координат и импульсов.
В более точных схемах применяются приближения четвертого и шестого
порядка, что особенно важно при исследовании субфемтосекундных
процессов, где даже минимальные численные искажения существенно влияют
на результат.
Спектральные методы
В задачах с периодическими или квазипериодическими полями эффективно
использовать спектральные разложения. Волновая функция представляется
через набор базисных функций (гармоники Фурье, сферические гармоники,
вейвлеты), и задача сводится к решению системы линейных дифференциальных
уравнений для коэффициентов разложения.
- Метод сферических гармоник применяется для атомов и
молекул, позволяя корректно описывать угловую зависимость
фотоэлектронных спектров.
- Вейвлет-разложения обеспечивают локализацию как в
координатной, так и в частотной области, что особенно полезно при
описании локальных возбуждений и ионизационных процессов.
Методы решения
уравнения для матрицы плотности
В ряде случаев исследуется не сама волновая функция, а эволюция
матрицы плотности, что позволяет учитывать смешанные состояния и
декогеренцию. Для этого применяются:
- Прямое интегрирование уравнения Лиувилля–фон
Неймана;
- Методы супероператоров для открытых квантовых
систем, взаимодействующих с внешними резервуарами;
- Стохастические подходы (метод квантовых
траекторий), позволяющие моделировать отдельные реализации
динамики.
Временной метод Флоке
При периодическом возбуждении с частотой ω эффективным инструментом является
метод Флоке. Он сводит задачу о временной динамике к стационарной задаче
на квазипереводных состояниях. Волновая функция раскладывается в ряд по
гармоникам возбуждающего поля, и задача сводится к решению линейного
уравнения в расширенном пространстве Флоке.
Данный метод особенно ценен при анализе многофотонных переходов и
генерации высоких гармоник, где динамика обладает квазипериодической
структурой.
Многотельные численные
методы
При моделировании электрон-электронных корреляций в многоэлектронных
системах простое решение ЗВУШ становится невозможным из-за
экспоненциального роста размерности пространства. Для этого применяются
приближенные численные методы:
- Метод временной зависимости конфигурационного взаимодействия
(TD-CI) — используется суперпозиция детерминантов Хартри–Фока,
эволюционирующих во времени.
- TD-DFT (time-dependent density functional theory) —
функционалы плотности позволяют учесть электронные корреляции при
относительно невысокой вычислительной стоимости.
- Метод многоконфигурационной временной зависимости Хартри
(MCTDH) — обобщает подход на многочастичные системы, эффективно
используя адаптивные базисы.
Снижение
вычислительной сложности и параллельные алгоритмы
Современные задачи аттосекундной физики требуют численного решения
уравнений с огромной размерностью. Для повышения эффективности
применяются:
- Параллельные вычисления на GPU и
суперкомпьютерах;
- Методы адаптивной сетки, концентрирующие узлы там,
где волновая функция изменяется наиболее сильно;
- Редукция размерности, когда учитываются только
наиболее существенные степени свободы (например, одномерные модели ионов
водорода при сильном поле).