Математические формулы

Аттосекундная физика оперирует временными масштабами порядка 10⁻¹⁸ секунд, что требует предельно точного математического описания процессов взаимодействия света и материи. В этой области применяются как классические методы электродинамики, так и квантовые формализмы, интегрированные с современными численными подходами.

1. Формула продолжительности аттосекундного импульса

Продолжительность импульса τ часто выражается через его ширину по частоте Δω с использованием принципа неопределенности:

$$ \tau \cdot \Delta \omega \gtrsim \frac{1}{2} $$

где:

τ — временная длительность импульса,
Δω — спектральная ширина импульса в радианах в секунду.

Для гауссовских импульсов точное соотношение принимает вид:

$$ \tau \cdot \Delta \omega = \frac{1}{2} $$

Это выражение определяет минимальное время, за которое можно локализовать фотон по частоте.

2. Электромагнитное поле аттосекундного импульса

Электрическое поле импульса можно представить как функцию времени t в виде:

E(t) = E₀ f(t)cos (ω₀t + ϕ)

где:

E₀ — амплитуда поля,
f(t) — огибающая импульса (обычно гауссовская: f(t) = e^−t²/2τ²),
ω₀ — центральная частота импульса,
ϕ — начальная фаза.

Спектральное разложение через преобразование Фурье дает:

$$ \tilde{\mathbf{E}}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{E}(t) e^{i \omega t} dt $$

Для гауссовских импульсов спектр также является гауссовым, что обеспечивает минимальное время-пространственное ограничение.

3. Интенсивность и поток энергии

Интенсивность аттосекундного лазерного импульса выражается через электрическое и магнитное поле:

$$ I(t) = \frac{c \varepsilon_0}{2} |\mathbf{E}(t)|^2 $$

где:

c — скорость света,
ε₀ — электрическая постоянная.

Энергия импульса U определяется интегрированием интенсивности по времени:

U = ∫_−∞^∞I(t) dt

Для аттосекундных импульсов интеграл часто оценивается численно из-за высокой частоты колебаний поля.

4. Временная разрешающая способность

При измерении ультракоротких процессов часто используется соотношение между временем и фазой фотонов:

$$ \Delta t \cdot \Delta E \ge \frac{\hbar}{2} $$

где:

Δt — временная неопределенность,
ΔE — неопределенность энергии,
ℏ — редуцированная постоянная Планка.

Это фундаментальное квантовое ограничение определяет, насколько точно можно наблюдать динамику электронов на аттосекундных масштабах.

5. Сила взаимодействия с атомом

Для взаимодействия света с атомом или молекулой используется гамильтониан в дипольной аппроксимации:

$$ \hat{H}(t) = \hat{H}_0 - \hat{\mathbf{d}} \cdot \mathbf{E}(t) $$

где:

Ĥ₀ — гамильтониан свободного атома,
$\hat{\mathbf{d}}$ — оператор дипольного момента,
E(t) — электрическое поле аттосекундного импульса.

Эволюция волновой функции |ψ(t)⟩ задается уравнением Шрёдингера:

$$ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H}(t) |\psi(t)\rangle $$

6. Коэффициент ионизации в сильном поле

Для кратковременных высокоинтенсивных импульсов используется формула ионизации по модели Кельдеша:

$$ \Gamma(t) \sim \exp \left[ -\frac{2 (2 I_p)^{3/2}}{3 |\mathbf{E}(t)|} \right] $$

где:

I_p — энергия ионизации,
E(t) — мгновенная амплитуда поля.

Эта формула позволяет оценить вероятность туннельной ионизации в реальном времени в течение аттосекундного импульса.

7. Высокочастотное гармоническое излучение (HHG)

Электрон, ускоренный лазерным полем, генерирует гармоники частоты, которые описываются через временную интеграцию по траектории электрона:

P(ω) = ∫dt d(t) e^iωt

где d(t) — дипольный момент, индуцированный лазерным полем. Вычисление спектра HHG требует учета квантовой интерференции траекторий электронов, что приводит к формированию аттосекундных вспышек рентгеновского излучения.

8. Суперпозиция импульсов и временные интерференции

При наложении нескольких аттосекундных импульсов важно учитывать интерференцию:

E_tot(t) = ∑_nE_n(t − t_n)

Интерференционные эффекты приводят к формированию субаттосекундных структур в огибающей поля, которые можно использовать для управления электронными процессами.

9. Дифференциальная вероятность фотоэффекта

Для коротких импульсов фотоэффект описывается дифференциальной вероятностью:

$$ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{| \langle \psi_f | \hat{\mathbf{d}} \cdot \mathbf{E} | \psi_i \rangle |^2}{\hbar^2} $$

где:

|ψ_i⟩ и |ψ_f⟩ — начальное и конечное состояния электрона,
dΩ — элемент телесного угла направления выбитого электрона.

Эта формула является основой для расчета угловой зависимости эмиссии электронов в экспериментах по аттосекундной спектроскопии.