Зависящее от времени уравнение Шрёдингера

Основные принципы

В аттосекундной физике центральным элементом теоретического описания взаимодействия ультракоротких лазерных импульсов с веществом является зависящее от времени уравнение Шрёдингера (ЗВУШ). Оно позволяет проследить эволюцию волновой функции электрона в присутствии сильного и быстро меняющегося электромагнитного поля. Временной масштаб порядка десятков и сотен аттосекунд соответствует характерным временам электронных корреляций и переходов, что делает ЗВУШ единственным фундаментально корректным инструментом описания.

Уравнение в общем виде записывается как:

$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}(t) \Psi(\mathbf{r},t), $$

где Ĥ(t) – гамильтониан системы, включающий как стационарную часть (атомный или молекулярный потенциал), так и взаимодействие с внешним полем.

Структура гамильтониана

Гамильтониан для электрона в атоме или молекуле в присутствии лазерного поля имеет вид:

Ĥ(t) = Ĥ0 + V̂int(t),

где

  • $\hat{H}_0 = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\mathbf{r})$ – собственный гамильтониан без поля,
  • V̂int(t) – оператор взаимодействия с полем.

В представлении длины взаимодействие обычно выражается как

V̂int(t) = eE(t) ⋅ r,

а в представлении скорости — через векторный потенциал A(t):

$$ \hat{V}_{\text{int}}(t) = \frac{e}{m}\mathbf{A}(t) \cdot \hat{\mathbf{p}} + \frac{e^2}{2m}A^2(t). $$

Выбор калибровки зависит от типа задачи и численных методов.

Численные подходы к решению

Прямое аналитическое решение ЗВУШ для реальных многоэлектронных систем практически невозможно, поэтому применяются различные численные методы.

  1. Метод расщепления операторов Используется разложение эволюционного оператора на кинетическую и потенциальную части:

    e−iĤΔt/ℏ ≈ e−iT̂Δt/2ℏe−iV̂Δt/ℏe−iT̂Δt/2ℏ.

    Этот метод удобен для быстрой итеративной эволюции волновой функции.

  2. Метод конечных разностей Пространственная дискретизация позволяет решать уравнение на сетке. Используется для атомов водорода и легких молекул, где требуется высокая точность.

  3. Методы конечных элементов и B-spline представления Применяются для многомерных систем, позволяя гибко учитывать сложную геометрию потенциальных поверхностей.

  4. Многоэлектронные методы

    • TDHF (Time-Dependent Hartree-Fock)
    • TDDFT (Time-Dependent Density Functional Theory)
    • MCTDHF (Multi-Configurational Time-Dependent Hartree-Fock)

    Эти подходы позволяют описывать электронную корреляцию, важную для процессов фотоотрыва и высокоэффективного гармонического излучения.

Роль ЗВУШ в аттосекундной физике

ЗВУШ служит основой для моделирования и интерпретации ключевых явлений:

  • Фотоионизация в реальном времени. Аттосекундные импульсы позволяют отслеживать момент выхода электрона из атома. ЗВУШ описывает временную задержку фотоэлектронов (Wigner time delay).

  • Высокие гармоники. Генерация гармоник (HHG) моделируется как результат нелинейной динамики электрона в комбинированном атомарном поле и сильном лазерном импульсе. Решение ЗВУШ позволяет предсказывать спектры и фазовые характеристики гармоник.

  • Корреляционная динамика. Электроны в многоэлектронных системах взаимодействуют друг с другом на аттосекундных временах. ЗВУШ с учетом корреляции показывает, как коллективное движение влияет на наблюдаемые спектры.

  • Контроль динамики. Численное решение уравнения используется для расчета управляемых процессов: например, для формирования электронных волновых пакетов заданной формы.

Приближения и упрощения

Поскольку полное решение ЗВУШ крайне ресурсоемко, вводятся приближения:

  • Одноактивный электрон (SAE approximation). Предполагается, что только один электрон участвует в динамике, остальные создают статический потенциал.
  • Квазистатическое приближение. В условиях медленно меняющегося поля приближения используются для оценки вероятностей ионизации.
  • Методы сильного поля (SFA – Strong Field Approximation). Игнорируется кулоновское взаимодействие после ионизации, что дает возможность аналитических оценок.

Физическая интерпретация

ЗВУШ в аттосекундной физике фактически связывает теоретические предсказания с экспериментом. Из решения уравнения можно получить:

  • распределение фотоэлектронов по энергии и углу,
  • временные задержки при ионизации,
  • спектры гармоник,
  • вероятность многоэлектронных переходов,
  • характеристики интерференционных эффектов.

Таким образом, зависящее от времени уравнение Шрёдингера является не просто математическим инструментом, а ключом к пониманию динамики материи на самых коротких временах, доступных современной науке.

Оглавление