Классическая электродинамика, построенная на уравнениях Максвелла, допускает элегантное и глубокое переформулирование в терминах специальной теории относительности. Для этого вводится четырёхмерное пространство Минковского, в котором координаты событий записываются в виде четырёхмерного вектора (четырёхвектора):
xμ = (ct, x, y, z), μ = 0, 1, 2, 3,
где x0 = ct — временная координата, а x1, x2, x3 — пространственные. Метрика Минковского определяется знаками:
ημν = diag(1, −1, −1, −1).
Под индексацией и свёртками четырёхвекторов и тензоров подразумевается использование соглашения Эйнштейна: одинаковые индексы, один верхний и один нижний, означают суммирование.
Электромагнитное поле описывается не напрямую векторными полями E⃗ и B⃗, а через потенциалы. В четырёхмерной формулировке электромагнитный потенциал объединяется в один четырёхвектор:
$$ A^\mu = \left( \frac{\varphi}{c}, \vec{A} \right), $$
где φ — скалярный потенциал, A⃗ — векторный потенциал. Все физические величины E⃗ и B⃗ могут быть выражены через Aμ и его производные.
Ключевым понятием является электромагнитный тензор Fμν, определяемый как антисимметричная производная от четырёхпотенциала:
Fμν = ∂μAν − ∂νAμ.
Компоненты Fμν связываются с электрическим и магнитным полями:
$$ F^{0i} = \frac{E^i}{c}, \quad F^{ij} = -\epsilon^{ijk} B^k, $$
где i, j, k = 1, 2, 3, а ϵijk — символ Леви-Чивиты. Таким образом, тензор Fμν имеет 6 независимых компонентов: 3 для E⃗ и 3 для B⃗. В матричном виде он записывается как:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\ -E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ -E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ -E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}. $$
Две пары уравнений Максвелла могут быть объединены в компактные тензорные выражения.
Первые два уравнения Максвелла (однородные уравнения, включая закон Фарадея и отсутствие магнитных монополей):
∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0,
что можно компактно записать через дуальный тензор:
∂μF̃μν = 0,
где
$$ \tilde{F}^{\mu\nu} = \frac{1}{2} \epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma} F_{\lambda\sigma}. $$
Вторая пара уравнений Максвелла (неоднородные уравнения, закон Гаусса и закон Ампера с поправкой Максвелла):
∂μFμν = μ0Jν,
где Jν = (cρ, J⃗) — четырёхвектор плотности тока и заряда. Это уравнение выражает локальный закон сохранения заряда через непрерывность:
∂νJν = 0.
Уравнения Максвелла в тензорной форме автоматически удовлетворяют требованию инвариантности относительно преобразований Лоренца. Это проявляется в ковариантной записи, где все величины (поля, потенциалы, токи) являются четырёхвекторами или тензорами ранга 2. Таким образом, физические законы сохраняют форму во всех инерциальных системах отсчёта.
В четырёхмерной формулировке сохраняется калибровочная свобода: преобразование
Aμ → A′μ = Aμ + ∂μΛ(x)
не изменяет электромагнитный тензор Fμν, поскольку производная градиента обнуляется при антисимметризации. Это свойство используется для упрощения уравнений — например, с выбором Лоренц-калибровки:
∂μAμ = 0.
Движение заряда в электромагнитном поле в релятивистской форме выражается через четырёхсилу:
$$ \frac{dp^\mu}{d\tau} = q F^{\mu\nu} u_\nu, $$
где pμ = muμ — четырёхимпульс, uμ — четырёхскорость, τ — собственное время, q — заряд. Это уравнение является релятивистским обобщением классического закона Лоренца.
Существует два лоренц-инварианта, выражающихся через Fμν:
$$ F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2 \left( \frac{|\vec{B}|^2}{c^2} - |\vec{E}|^2 \right). $$
$$ \tilde{F}^{\mu\nu} F_{\mu\nu} = -\frac{4}{c} \vec{E} \cdot \vec{B}. $$
Эти инварианты играют важную роль в классификации электромагнитных полей и в формулировке квантовой электродинамики.
Электродинамика допускает лагранжеву формулировку. Лагранжиан поля:
$$ \mathcal{L} = -\frac{1}{4\mu_0} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - J^\mu A_\mu. $$
Применение принципа наименьшего действия:
δ∫ℒ d4x = 0
даёт уравнения движения, то есть уравнения Максвелла в ковариантной форме. Такое описание делает возможным обобщение на квантовые поля.
Энергетико-импульсный тензор электромагнитного поля:
$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\lambda}F^\nu_{\ \lambda} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\lambda\sigma}F_{\lambda\sigma} \right). $$
Он симметричен и сохраняется:
∂μTμν = −FνλJλ,
что отражает передачу энергии и импульса от поля к зарядам. Компоненты T00, T0i, Tij соответствуют плотности энергии, потоку энергии (вектор Пойнтинга) и тензору напряжений соответственно.
Четырёхмерная формулировка: