Дисперсия

Понятие дисперсии и её физическая природа

Дисперсией называют зависимость фазовой скорости электромагнитной волны от её частоты. Это явление возникает из-за взаимодействия волны с веществом, через которое она проходит. В вакууме скорость света одинакова для всех частот, но в веществе из-за колебательных свойств заряженных частиц (в первую очередь электронов) скорость распространения волны зависит от частоты.

При прохождении электромагнитной волны через вещество заряженные частицы начинают колебаться, индуцируя вторичное излучение, которое интерферирует с исходной волной. Эта интерференция приводит к изменению скорости распространения, причём это изменение различается для разных частот.

Показатель преломления и его частотная зависимость

Показатель преломления n(ω) определяется как отношение скорости света в вакууме c к фазовой скорости волны в среде v_p(ω):

$$ n(\omega) = \frac{c}{v_p(\omega)}. $$

В случае дисперсионной среды n становится функцией частоты ω, что приводит к различной скорости распространения для волн разной частоты. Если n(ω) увеличивается с увеличением ω, говорят о нормальной дисперсии. Если же показатель преломления уменьшается с увеличением частоты, наблюдается аномальная дисперсия.

Связь между дисперсией и диэлектрической проницаемостью

Диэлектрическая проницаемость среды ε(ω) также зависит от частоты. Для линейной изотропной среды:

$$ n(\omega) = \sqrt{\varepsilon(\omega) \mu(\omega)}. $$

В большинстве случаев магнитная проницаемость μ(ω) ≈ 1, особенно для немагнитных веществ, и дисперсия определяется преимущественно частотной зависимостью ε(ω).

Для описания дисперсионных свойств часто используют модель связанных осцилляторов, в которой электроны рассматриваются как гармонические осцилляторы, взаимодействующие с полем.

Модель Лоренца: электрон как вынужденный осциллятор

В модели Лоренца электрон рассматривается как связанный с ядром посредством упругой силы и подверженный действию внешнего электрического поля. Уравнение движения одного осциллятора с массой m, зарядом −e, собственной частотой ω₀, демпфированием γ и под действием поля E(t) = E₀e^−iωt имеет вид:

$$ m \ddot{x} + m\gamma \dot{x} + m\omega_0^2 x = -eE_0 e^{-i\omega t}. $$

Решая его в установившемся режиме, получаем:

$$ x(\omega) = \frac{eE_0}{m(\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega)}. $$

Поляризация среды P = −Nex(ω), где N — концентрация осцилляторов. Электрическая восприимчивость χ(ω) и диэлектрическая проницаемость ε(ω) = 1 + 4πχ(ω) тогда выражаются как:

$$ \chi(\omega) = \frac{Ne^2}{m} \cdot \frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega}. $$

Таким образом, ε(ω) становится комплексной величиной, описывающей как дисперсию (реальная часть), так и поглощение (мнимая часть).

Комплексный показатель преломления

Комплексный показатель преломления ñ(ω) = n(ω) + iκ(ω) включает:

• n(ω) — обычный показатель преломления, характеризующий фазовую скорость,
• κ(ω) — коэффициент затухания, связанный с поглощением.

Связь между ñ и ε задаётся формулой:

ñ²(ω) = ε(ω).

Это означает, что при наличии поглощения ε становится комплексной, и волна в веществе испытывает как фазовое изменение, так и экспоненциальное затухание по амплитуде.

Групповая и фазовая скорости

Фазовая скорость:

$$ v_p = \frac{\omega}{k}. $$

Групповая скорость:

$$ v_g = \frac{d\omega}{dk}. $$

В дисперсионной среде v_p ≠ v_g. Более того, в области аномальной дисперсии v_g может превышать c, быть отрицательной или даже стремиться к бесконечности. Однако это не нарушает причинности, поскольку перенос энергии ограничен фронтальной скоростью, которая не может превышать c.

Краевые аномалии и область аномальной дисперсии

Вблизи резонансной частоты ω₀, где происходит резкое изменение ε(ω), наблюдается аномальная дисперсия: dn/dω < 0. Это сопровождается сильным поглощением, что соответствует максимальному значению мнимой части ε. Такие участки называются краевыми аномалиями и тесно связаны с резонансами в атомной или молекулярной структуре вещества.

Соотношения Крамерса — Кронига

Поскольку ε(ω) аналитична в верхней полуплоскости комплексных частот (что следует из причинности отклика среды), её вещественная и мнимая части связаны интегральными соотношениями:

$$ \operatorname{Re}[\varepsilon(\omega)] = 1 + \frac{2}{\pi} \mathcal{P} \int_0^\infty \frac{\omega'\operatorname{Im}[\varepsilon(\omega')]}{\omega'^2 - \omega^2} \, d\omega', $$

$$ \operatorname{Im}[\varepsilon(\omega)] = -\frac{2\omega}{\pi} \mathcal{P} \int_0^\infty \frac{\operatorname{Re}[\varepsilon(\omega')] - 1}{\omega'^2 - \omega^2} \, d\omega'. $$

Здесь ???? обозначает главное значение интеграла. Эти соотношения позволяют восстановить полную частотную зависимость ε(ω), зная только одну из её компонент.

Примеры дисперсионных зависимостей в различных средах

• Оптическое стекло: в области видимого света имеет нормальную дисперсию. Это позволяет создавать призмы и линзы с различной фокусировкой по длине волны.
• Атмосферные газы: вблизи линий поглощения, например, в инфракрасной области у CO₂ или H₂O, возникает аномальная дисперсия.
• Плазма: в плазменной среде показатель преломления определяется выражением:

$$ n^2(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2}, $$

где ω_p — плазменная частота. Ниже ω_p волна не может распространяться.

Явления, обусловленные дисперсией

1. Хроматическая аберрация — в оптических системах лучи разных частот фокусируются в разных точках.
2. Дисперсия импульсов — короткие импульсы распространяются с растяжением, поскольку компоненты с разными частотами движутся с различной групповой скоростью.
3. Интерференция волн с дисперсией — изменяется картина интерференции в зависимости от частоты.
4. Радуга — разложение света на спектр за счёт зависимости угла преломления от длины волны.

Роль дисперсии в технологии

• В оптоволоконной связи дисперсия ограничивает скорость передачи данных, поскольку приводит к растяжению импульсов.
• В спектроскопии дисперсия определяет форму линий поглощения и излучения.
• В нелинейной оптике знание дисперсионных характеристик критично для фазовой синхронизации волн при генерации гармоник.

Дисперсия в магнитных и проводящих средах

В проводящих материалах, особенно металлах, дисперсия определяется не только за счёт связанных электронов, но и свободных носителей. При этом диэлектрическая проницаемость описывается моделью Друде:

$$ \varepsilon(\omega) = 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2 + i\gamma\omega}, $$

где ω_p — плазменная частота, γ — частота столкновений. В этой модели для частот ниже ω_p волна сильно отражается, что и объясняет блеск металлов.