Если заряженная частица движется в магнитном поле, на неё действует сила, называемая силой Лоренца, выражаемая как
F⃗ = q v⃗ × B⃗
где q — заряд частицы, v⃗ — её скорость, B⃗ — вектор магнитной индукции, а знак × означает векторное произведение. Сила Лоренца всегда перпендикулярна как скорости, так и направлению магнитного поля, и, следовательно, она не совершает работы. Это означает, что магнитное поле не может изменять кинетическую энергию частицы — только её направление движения.
Если вектор скорости частицы перпендикулярен магнитному полю (v⃗ ⟂ B⃗), сила Лоренца направлена к центру окружности, по которой движется частица. Это движение является равномерным круговым движением с центростремительным ускорением, создаваемым магнитной силой.
Радиус кругового движения определяется из второго закона Ньютона:
$$ qvB = \frac{mv^2}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{mv}{qB} $$
Период обращения по окружности:
$$ T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{qB} $$
Обратите внимание, что период и частота не зависят от скорости и радиуса и определяются только характеристиками частицы и магнитного поля.
Если начальная скорость частицы имеет как поперечную, так и продольную компоненты относительно B⃗, её траектория становится винтовой (спиралевидной). Частица движется по окружности в плоскости, перпендикулярной B⃗, и одновременно вдоль направления B⃗. Это приводит к образованию винтовой линии (спирали), шаг которой равен:
$$ h = v_\parallel T = v_\parallel \cdot \frac{2\pi m}{qB} $$
Знак заряда q определяет направление вращения. Положительные и отрицательные заряды будут вращаться в противоположных направлениях при одинаковом направлении v⃗ и B⃗. Это критически важно в таких устройствах, как масс-спектрометры и циклотрон.
Так как сила Лоренца перпендикулярна перемещению частицы:
F⃗ ⋅ v⃗ = 0
это означает, что работа силы равна нулю:
A = ∫F⃗ ⋅ dr⃗ = 0
и, следовательно, кинетическая энергия частицы сохраняется. Магнитное поле не может ни ускорить, ни замедлить частицу — только изменить её траекторию.
В неоднородных полях возникает дополнительный эффект: дрейф центра траектории и магнитное зеркало. Например, в магнитной ловушке (такой как магнитосфера Земли) заряженные частицы могут «отражаться» от областей с усиливающимся полем, что используется в создании токамаков.
Если частица движется вдоль линии магнитного поля с возрастающей индукцией, возникает сила, которая замедляет продольную составляющую скорости. При этом полная энергия сохраняется, но из-за увеличения B, поперечная скорость v⟂ возрастает, а продольная v∥ убывает. В точке, где v∥ = 0, происходит отражение — частица возвращается назад вдоль поля. Это явление лежит в основе магнитного зеркала:
$$ \frac{v_\perp^2}{B} = \text{const} $$
При наличии как электрического, так и магнитного поля возникает дрейфовая скорость:
$$ \vec{v}_d = \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2} $$
Этот дрейф не зависит от заряда и массы частицы — положительные и отрицательные заряды дрейфуют в одном направлении. Это фундаментально для понимания плазменной физики и работы многих установок управляемого термоядерного синтеза.
Если присутствует неоднородное магнитное поле, возникают дополнительные дрейфы: градиентный и кривизны поля, определяемые выражениями, зависящими от ∇B и геометрии силовых линий.
Обобщённое уравнение движения частицы:
$$ m \frac{d\vec{v}}{dt} = q \vec{v} \times \vec{B} $$
Решение этого векторного уравнения требует разложения скорости на компоненты вдоль и поперёк поля:
v⃗(t) = v⃗∥ + v⃗⟂(t)
где v⃗∥ постоянна, а v⃗⟂(t) описывает равномерное вращение в плоскости, перпендикулярной B⃗, с угловой скоростью (циклотронной частотой):
$$ \omega = \frac{qB}{m} $$
Таким образом, движение частицы в магнитном поле — это композиция поступательного движения вдоль поля и вращательного поперёк него.