Электрический потенциал

Электрический потенциал — это скалярная физическая величина, характеризующая потенциальную энергию единичного положительного заряда в данной точке электрического поля. Иными словами, это работа, которую совершают силы электрического поля при перемещении положительного пробного заряда из данной точки в бесконечно удалённую (или наоборот) без изменения его кинетической энергии.

Если потенциальная энергия заряда q в точке поля равна W_p, то электрический потенциал φ в этой точке определяется как:

$$ \varphi = \frac{W_p}{q} $$

Единицей измерения электрического потенциала в системе СИ является вольт (В). Один вольт соответствует такому потенциалу, при котором потенциальная энергия заряда в один кулон равна одному джоулю.

Работа по перемещению заряда и связь с потенциалом

Работа A, совершаемая силами электрического поля при перемещении заряда q из точки с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂, выражается как:

A = q(φ₁ − φ₂)

Если φ₁ > φ₂, то работа положительна, то есть поле совершает работу, перемещая заряд по направлению убывания потенциала. Работа не зависит от пути перемещения, что свидетельствует о консервативности электростатического поля.

Потенциал точечного заряда

Электрический потенциал, создаваемый в пространстве неподвижным точечным зарядом q, на расстоянии r от него выражается формулой:

$$ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r} $$

где ε₀ ≈ 8, 85 ⋅ 10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума).

При этом:

Потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию от заряда.
Знак потенциала совпадает со знаком источника поля: положительный заряд создаёт положительный потенциал, отрицательный — отрицательный.

Принцип суперпозиции потенциала

Поскольку потенциал — скалярная величина, при наличии нескольких зарядов общий потенциал в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом:

$$ \varphi = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_i}{r_i} $$

где r_i — расстояние от i-го заряда до данной точки пространства.

Это позволяет легко вычислять потенциал сложных конфигураций, таких как системы из нескольких точечных зарядов, равномерно заряженные сферы, кольца и т.п.

Поверхности равного потенциала (эквипотенциальные поверхности)

Эквипотенциальной поверхностью называют геометрическое место точек, в которых потенциал одинаков. Ключевые свойства таких поверхностей:

Работа поля по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю.
Вектор напряжённости электрического поля всегда перпендикулярен к эквипотенциальной поверхности.
Эквипотенциальные поверхности не пересекаются.

В случае точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой концентрические сферы с центром в точке расположения заряда.

Связь потенциала с напряжённостью поля

Напряжённость электрического поля связана с градиентом электрического потенциала:

E⃗ = −∇φ

В одномерном случае, если поле направлено вдоль оси x, то:

$$ E = -\frac{d\varphi}{dx} $$

Это выражение показывает, что напряжённость направлена в сторону убывания потенциала. Минус в формуле отражает тот факт, что положительные заряды движутся в сторону уменьшения потенциала.

Разность потенциалов и напряжение

Разность потенциалов между двумя точками поля называется напряжением:

U = φ₁ − φ₂

Таким образом, напряжение — это работа, совершаемая полем по перемещению единичного положительного заряда между двумя точками.

Единица измерения напряжения также — вольт (В), и, аналогично потенциалу, напряжение можно измерять вольтметрами.

Потенциал в распределённой системе зарядов

Для распределения заряда по объёму, поверхности или линии, потенциал в точке поля определяется интегралом:

Для объёмного распределения с плотностью заряда ρ:

$$ \varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_V \frac{\rho(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} dV' $$

Для поверхностного распределения с поверхностной плотностью σ:

$$ \varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_S \frac{\sigma(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} dS' $$

Для линейного распределения с линейной плотностью λ:

$$ \varphi(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int_L \frac{\lambda(\vec{r}')}{|\vec{r} - \vec{r}'|} dL' $$

Эти выражения применяются в задачах с непрерывным распределением зарядов и являются основой электростатических расчётов в симметричных системах.

Потенциал проводников

В электростатическом равновесии проводник обладает следующими свойствами:

Потенциал внутри проводника везде одинаков и равен потенциалу его поверхности.
Электрическое поле внутри проводника равно нулю.
Заряды располагаются исключительно на поверхности проводника.
Поверхность проводника является эквипотенциальной.

Если проводник заземлён, его потенциал приравнивается к нулю. Это используется при расчётах, так как позволяет упростить граничные условия задачи.

Потенциал системы зарядов. Потенциальная энергия системы

Потенциальная энергия системы n точечных зарядов может быть выражена через их взаимодействие:

$$ W_p = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i

где r_ij — расстояние между i-м и j-м зарядами.

Если известен потенциал, создаваемый другими зарядами в точке, где находится заряд q, то потенциальная энергия этого заряда определяется как:

W_p = qφ

Зависимость потенциала от выбора нуля отсчёта

Потенциал определяется с точностью до произвольной постоянной. Это значит, что можно выбрать любую точку пространства, в которой потенциал принимается за ноль. Наиболее часто за ноль принимается потенциал на бесконечности (в случае изолированных зарядов), однако при наличии проводников, заземлённых объектов или экранов, удобнее брать ноль в других точках.

Изменение системы отсчёта потенциала не влияет на физические наблюдаемые величины, такие как напряжённость поля или работа поля, поскольку они зависят от разности потенциалов.

Применение понятий потенциала

Электрический потенциал — мощный инструмент в теоретической и прикладной электростатике:

Упрощает решение задач, особенно при наличии симметрии.
Позволяет строить графики и карты эквипотенциальных линий и поверхностей.
Используется при анализе энергии систем зарядов.
Ключевой элемент при рассмотрении процессов в диэлектриках и проводниках.
Необходим в задачах электростатической аппроксимации и моделирования электрических полей.

Потенциал лежит в основе многих технологических устройств — от конденсаторов до электронных микроскопов — и играет важную роль в электрофизике, электронике, радиотехнике и других науках.