Электрическое поле точечного заряда

Электрическое поле — это особый вид материи, посредством которого осуществляется взаимодействие между электрическими зарядами. Оно существует в пространстве вокруг каждого заряженного тела и проявляется через силу, действующую на другой заряд, помещённый в это поле. Электрическое поле обладает энергией и импульсом, подчиняется принципу суперпозиции и распространяется с конечной скоростью — не более скорости света в вакууме.

Характеристики точечного заряда

Точечный заряд — это идеализированная модель заряженного тела, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстояниями, на которых рассматривается его взаимодействие с другими зарядами. Такая модель широко используется в теоретических и практических расчетах, так как значительно упрощает анализ.

Пусть в пространстве имеется точечный заряд q, находящийся в покое в вакууме. Для описания электрического поля, создаваемого этим зарядом, воспользуемся законом Кулона.

Закон Кулона

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами q₁ и q₂, находящимися на расстоянии r друг от друга, определяется выражением:

$$ F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} $$

где F — модуль силы взаимодействия, r — расстояние между зарядами, $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \approx 8{,}99 \times 10^9 \, \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2$, ε₀ — электрическая постоянная.

Это выражение описывает силу, с которой точечный заряд воздействует на другой заряд. Однако для более универсального описания вводится понятие напряжённости электрического поля.

Напряжённость электрического поля точечного заряда

Напряжённость электрического поля — векторная физическая величина, определяемая как сила, действующая на пробный положительный заряд q₀, делённая на величину этого заряда:

$$ \vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} $$

Подставляя сюда закон Кулона, получаем выражение для напряжённости поля точечного заряда q в вакууме:

$$ \vec{E} = k \frac{q}{r^2} \hat{r} $$

где r̂ — единичный вектор, направленный от заряда к точке наблюдения (если q > 0) или к заряду (если q < 0).

Ключевые особенности:

Напряжённость убывает с квадратом расстояния.
Поле центрально-симметрично, то есть направление вектора E⃗ зависит только от радиуса-вектора.
Поле от положительного заряда направлено от заряда, а от отрицательного — к заряду.

Линии электрического поля

Для наглядного представления структуры поля используются силовые линии — воображаемые линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора напряжённости. Для точечного заряда линии:

Исходят радиально наружу от положительного заряда.
Сходятся к отрицательному заряду.
Не пересекаются и не разрываются.
Густота линий пропорциональна модулю напряжённости.

Потенциал электрического поля точечного заряда

Потенциал φ — скалярная величина, определяющая потенциальную энергию единичного положительного заряда в данной точке поля:

$$ \varphi = k \frac{q}{r} $$

Потенциал, в отличие от напряжённости, позволяет удобно использовать методы математического анализа (например, градиенты, интегралы) и важен при рассмотрении консервативных свойств поля.

Связь между напряжённостью и потенциалом:

E⃗ = −∇φ

Работа сил поля

Работа электрического поля при перемещении заряда q₀ из точки с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂:

A = q₀(φ₁ − φ₂)

Это позволяет оценивать энергетические процессы в поле точечного заряда.

Энергия поля точечного заряда

Хотя в строго математическом смысле поле точечного заряда обладает бесконечно большой плотностью энергии вблизи самого заряда, в физике используется понятие плотности энергии электрического поля:

$$ u = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} $$

Для точечного заряда подставляя выражение для E, получим:

$$ u(r) = \frac{\varepsilon_0}{2} \left( \frac{k q}{r^2} \right)^2 = \frac{1}{32 \pi^2 \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^4} $$

Плотность энергии возрастает при приближении к заряду и стремится к бесконечности при r → 0, что отражает ограниченность модели точечного заряда на сверхмалых масштабах.

Принцип суперпозиции электрических полей

Если в пространстве имеется несколько точечных зарядов, то результирующее электрическое поле в данной точке определяется как векторная сумма полей, создаваемых каждым из зарядов:

E⃗_рез = E⃗₁ + E⃗₂ + E⃗₃ + …

Каждое отдельное поле рассчитывается по формуле $\vec{E}_i = k \dfrac{q_i}{r_i^2} \hat{r}_i$. Этот принцип лежит в основе анализа полей сложных систем, таких как кристаллические решётки, заряженные тела произвольной формы и электрические диполи.

Электрическое поле в различных средах

В присутствии диэлектрической среды напряжённость поля изменяется из-за поляризации вещества. Тогда выражение для напряжённости записывается как:

$$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi \varepsilon} \frac{q}{r^2} \hat{r} $$

где ε = ε_rε₀, ε_r — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Появление диэлектрической проницаемости уменьшает напряжённость по сравнению с вакуумом:

$$ \vec{E}_{\text{среда}} = \frac{\vec{E}_{\text{вакуум}}}{\varepsilon_r} $$

Обобщённые свойства поля точечного заряда

Поле имеет радиальную симметрию.
Поле является потенциальным.
Линии поля никогда не замыкаются.
Работа по замкнутому контуру равна нулю.
Потенциал убывает с расстоянием, как 1/r.
Энергия поля распределена в пространстве, но не может быть локализована в точке.

Использование модели в теории и практике

Модель точечного заряда используется:

В начальном курсе электростатики для отработки базовых понятий.
В расчетах потенциалов и полей при симметричных распределениях заряда.
В задачах о взаимодействии зарядов в атомах и молекулах.
В численных моделированиях, где тела заменяются системой точек с зарядом.

Несмотря на идеализацию, модель точечного заряда остаётся мощным инструментом физического анализа и важной основой построения более сложных моделей в электродинамике.