Электромагнитные волны

Плоские электромагнитные волны в вакууме

Рассмотрим электромагнитные волны как решения уравнений Максвелла в пустом пространстве, где отсутствуют свободные заряды и токи:

ρ = 0,  j = 0.

При этом система уравнений Максвелла в дифференциальной форме принимает вид:

$$ \begin{aligned} &\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \\ &\nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \\ &\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\ &\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned} $$

Волновые уравнения для полей

Применяя оператор ротора ко второму уравнению из последней пары, получаем:

$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}). $$

Используя векторное тождество:

∇ × (∇ × E) = ∇(∇ ⋅ E) − ∇²E,

и учитывая, что ∇ ⋅ E = 0, получаем:

$$ -\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, $$

или:

$$ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}. $$

Аналогично получаем волновое уравнение для магнитного поля:

$$ \nabla^2 \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}. $$

Таким образом, как электрическое, так и магнитное поля удовлетворяют однородным волновым уравнениям. Скорость распространения таких волн равна:

$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = c, $$

где c — скорость света в вакууме.

Плоская монохроматическая волна

Пусть волна распространяется вдоль оси z. Тогда возможное решение для электрического поля имеет вид:

E(z, t) = E₀cos (kz − ωt),

где E₀ — амплитуда, k — волновое число, ω — циклическая частота. Соответствующее магнитное поле определяется из уравнения Максвелла:

$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}. $$

Поскольку E ⟂ ẑ, предположим, что E₀ = E₀x̂. Тогда, используя операцию ротора в координатной форме:

$$ \left(\nabla \times \mathbf{E}\right)_y = \frac{\partial E_x}{\partial z}. $$

Это даёт:

$$ \frac{\partial E_x}{\partial z} = -\frac{\partial B_y}{\partial t}. $$

Подставляя выражение для E_x, найдём B_y:

$$ \frac{\partial}{\partial z} E_0 \cos(kz - \omega t) = -\frac{\partial B_y}{\partial t}, $$

$$ -k E_0 \sin(kz - \omega t) = -\frac{\partial B_y}{\partial t}, $$

$$ \frac{\partial B_y}{\partial t} = k E_0 \sin(kz - \omega t). $$

Интегрируя по времени:

$$ B_y = \frac{k}{\omega} E_0 \cos(kz - \omega t). $$

С учётом c = ω/k, окончательно получаем:

$$ \mathbf{B}(z, t) = \frac{E_0}{c} \hat{y} \cos(kz - \omega t). $$

Свойства плоской электромагнитной волны

• Ортогональность полей и направления распространения: Вектор E направлен по x, B — по y, волна распространяется по z. Таким образом,

  E ⟂ B,  E ⟂ k,  B ⟂ k.

• Связь между амплитудами полей:

  $$ B_0 = \frac{E_0}{c}. $$

• Энергетические характеристики волны

  Плотность энергии электромагнитного поля:

  $$ u = u_E + u_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0} B^2. $$

  Для плоской волны:

  $$ B = \frac{E}{c} \Rightarrow \frac{1}{2\mu_0} B^2 = \frac{1}{2\mu_0} \left( \frac{E}{c} \right)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2. $$

  Следовательно:

  u = ε₀E².

  Плотность потока энергии (вектор Пойнтинга):

  $$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}. $$

  Подставляя значения:

  $$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} E_0 \cos(kz - \omega t) \cdot \frac{E_0}{c} \cos(kz - \omega t) \cdot \hat{z} = \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(kz - \omega t) \hat{z}. $$

  Среднее значение по времени:

  $$ \langle S \rangle = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2. $$

Поляризация электромагнитной волны

Поляризация определяется направлением вектора электрического поля. Различают:

• Линейную поляризацию — E колеблется вдоль одной фиксированной оси.
• Круговую поляризацию — E вращается с постоянной амплитудой, создавая круг в поперечном сечении.
• Эллиптическую поляризацию — наиболее общий случай, при котором E описывает эллипс.

Пример круговой поляризации:

E(z, t) = E₀[x̂cos (kz − ωt) + ŷsin (kz − ωt)],

тогда магнитное поле:

$$ \mathbf{B}(z, t) = \frac{E_0}{c} [\hat{y} \cos(kz - \omega t) - \hat{x} \sin(kz - \omega t)]. $$

Электромагнитные волны в веществе

В диэлектрической среде (без свободных зарядов и токов) уравнения Максвелла сохраняют структуру, но вводятся параметры среды:

ε,  μ.

Скорость распространения волны в среде:

$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}. $$

Индекс преломления:

$$ n = \frac{c}{v} = \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{\mu_0 \varepsilon_0}}. $$

Групповая и фазовая скорости

Фазовая скорость:

$$ v_\text{ф} = \frac{\omega}{k}. $$

Групповая скорость:

$$ v_\text{гр} = \frac{d\omega}{dk}. $$

В дисперсионной среде фазовая и групповая скорости могут отличаться. Групповая скорость соответствует скорости переноса энергии и сигнала.

Отражение и преломление электромагнитной волны

При падении плоской волны на границу двух сред с различными показателями преломления происходят:

• частичное отражение (угол равен углу падения),

• частичное преломление (угол описывается законом Снеллиуса):

  n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂.

Коэффициенты отражения и пропускания зависят от поляризации волны (перпендикулярной или параллельной плоскости падения) и могут быть вычислены из формул Френеля.

Электромагнитные волны и их связь с квантовой теорией

Классическое описание электромагнитных волн соответствует распространению огромного числа фотонов — квантов электромагнитного поля. Энергия одного фотона:

E = ℏω,

а импульс:

p = ℏk.

Таким образом, электромагнитная волна обладает не только энергетическими, но и импульсными свойствами, что проявляется, например, в явлении давления света.