Рассмотрим два точечных заряда q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Потенциальная энергия их взаимодействия в электростатике определяется выражением:
$$ U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r} $$
Знак этой энергии зависит от знаков зарядов. При одинаковых знаках U > 0, при противоположных — U < 0. Эта энергия является результатом работы, необходимой для переноса одного заряда в поле другого.
Для системы из нескольких зарядов полная потенциальная энергия представляет собой сумму всех попарных взаимодействий:
$$
U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i
где rij — расстояние между i-м и j-м зарядами. Важно понимать, что это — энергия конфигурации, а не энергия отдельного заряда.
Если заряд распределён в пространстве непрерывно с объёмной плотностью ρ(r), то потенциальная энергия выражается через интеграл:
$$ U = \frac{1}{2} \int \rho(\mathbf{r}) \varphi(\mathbf{r}) \, dV $$
Здесь φ(r) — электрический потенциал, создаваемый всем зарядом в точке r. Коэффициент $\frac{1}{2}$ появляется из-за того, что каждое взаимодействие учтено дважды при интегрировании.
Электрическое поле обладает собственной энергией, которая может локализоваться в пространстве. Энергия, сосредоточенная в самом поле, определяется плотностью энергии:
$$ u = \frac{\varepsilon_0}{2} E^2 $$
где E — модуль вектора напряжённости электрического поля. Тогда полная энергия электрического поля в некотором объёме V задаётся интегралом:
$$ U = \int_V u \, dV = \frac{\varepsilon_0}{2} \int_V E^2 \, dV $$
Это фундаментальное выражение позволяет интерпретировать электрическое поле как носителя энергии, независимо от наличия зарядов в области пространства.
Используя уравнение Пуассона:
$$ \nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
можно показать, что выражения энергии через ρφ и через E2 эквивалентны. Действительно, преобразуя интеграл от ρφ, получим:
$$ U = \frac{1}{2} \int \rho \varphi \, dV = \frac{\varepsilon_0}{2} \int (\nabla \varphi)^2 \, dV = \frac{\varepsilon_0}{2} \int E^2 \, dV $$
с учётом E = −∇φ. Это демонстрирует согласованность различных подходов к определению энергии.
Для плоского конденсатора с зарядом Q, разностью потенциалов V и ёмкостью C, энергия электрического поля между обкладками равна:
$$ U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} QV $$
Если конденсатор заполняется диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ε, то при постоянном Q энергия уменьшается, так как увеличивается ёмкость $C = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{S}{d}$. При этом поле ослабевает, так как $E = \frac{V}{d}$, а потенциал изменяется в зависимости от режима.
1. Сферически симметричное поле. Для заряда Q, расположенного в центре сферы, поле снаружи:
$$ E(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} $$
Подставляя в выражение для плотности энергии и интегрируя по объёму от R до ∞:
$$ U = \frac{\varepsilon_0}{2} \int_R^\infty \left( \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \right)^2 \cdot 4\pi r^2 \, dr = \frac{1}{8\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q^2}{R} $$
Этот результат иллюстрирует расходимость энергии точечного заряда при R → 0, указывая на необходимость введения конечных размеров или перехода к квантовому описанию.
2. Однородное поле. Для конденсатора с однородным полем E, заполняющего объём V, энергия:
$$ U = \frac{\varepsilon_0}{2} E^2 V $$
Эта формула позволяет использовать энергетический подход для вычисления изменения энергии при перестановке объектов в поле или при изменении геометрии.
Энергия электрического поля связана с понятием давления, оказываемого полем на поверхности проводников или диэлектриков. В вакууме напряжение поля может быть интерпретировано как нормальное давление на проводящую поверхность:
$$ p = \frac{\varepsilon_0}{2} E^2 $$
Это особенно важно при анализе сил, действующих на поверхности проводников, в том числе при наличии высоких напряжённостей, когда возникают пробойные явления.
Использование выражений для энергии поля позволяет эффективно решать задачи, в которых прямой расчёт сил затруднён. Например, изменение энергии при перемещении объекта в поле может быть связано с работой поля:
ΔU = −Aвнеш
Таким образом, знание распределения поля и геометрии позволяет через интеграл от плотности энергии вычислить изменения, не прибегая к дифференциальным уравнениям.
В случае идеальных проводников (или сверхпроводников) электрическое поле внутри равно нулю, следовательно, и энергия внутри отсутствует. При этом вся энергия сосредоточена во внешнем поле. Эффект экранирования выражается не только в исчезновении поля внутри, но и в перераспределении энергии: она смещается в область между экранирующим слоем и источником поля.
Если имеются два независимых распределения заряда с полями E1 и E2, то результирующее поле:
E = E1 + E2
Энергия поля:
$$ U = \frac{\varepsilon_0}{2} \int (\mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2)^2 \, dV = U_1 + U_2 + \varepsilon_0 \int \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 \, dV $$
Последний член — энергия взаимодействия полей, важный при интерференции, а также при расчёте емкости и индуктивности в сложных системах.
Энергия электрического поля является частью полной электромагнитной энергии, и в динамических процессах (переменное поле, излучение) она взаимодействует с магнитной энергией. В рамках теории Максвелла изменение энергии поля связано с потоками энергии, описываемыми вектором Пойнтинга:
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} $$
Хотя в данном разделе рассматривается только электростатическая энергия, это служит основой для понимания более сложных явлений, включая распространение волн, антенное излучение и взаимодействие волн с веществом.