Электромагнитная волна представляет собой совместное распространение переменных электрического и магнитного полей. Эти поля обладают энергией, распределённой в пространстве. Для количественного описания этой энергии используется плотность энергии электромагнитного поля — энергия, содержащаяся в единице объёма среды.
Плотность энергии электрического поля в вакууме выражается формулой:
$$ w_E = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $$
где ε0 — электрическая постоянная, E — напряжённость электрического поля.
Плотность энергии магнитного поля:
$$ w_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} $$
где μ0 — магнитная постоянная, B — магнитная индукция.
Полная плотность энергии электромагнитного поля:
$$ w = w_E + w_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu_0} $$
Для плоской электромагнитной волны в вакууме выполняется соотношение $B = \frac{E}{c}$, где c — скорость света. Подставляя это в выражение для w, получаем:
w = ε0E2
Таким образом, в электромагнитной волне плотности энергии электрического и магнитного полей равны:
$$ w_E = w_B = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $$
Распределение энергии в пространстве недостаточно для описания процессов передачи энергии. Необходимо также знать, как быстро и в каком направлении энергия перемещается. Для этого используется вектор Пойнтинга, определяемый как:
$$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} $$
Вектор S⃗ указывает направление распространения энергии и имеет размерность плотности потока энергии, то есть энергии в единицу времени через единичную площадь, перпендикулярную направлению потока.
Для плоской гармонической волны в вакууме, распространяющейся вдоль оси z, где:
E⃗ = E0cos (kz − ωt) x̂, B⃗ = B0cos (kz − ωt) ŷ
вектор Пойнтинга направлен вдоль оси z и равен:
$$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \cos^2(kz - \omega t) \, \hat{z} $$
Так как $B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{E_0}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$, получаем:
S = ε0cE02cos2(kz − ωt)
В силу синусоидального характера электромагнитной волны, вектор Пойнтинга также является переменной величиной. Для практических целей важно знать средний поток энергии, который вычисляется усреднением по времени:
$$ \langle S \rangle = \varepsilon_0 c E_0^2 \langle \cos^2(kz - \omega t) \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2 $$
Таким образом, средняя плотность потока энергии пропорциональна квадрату амплитуды электрического поля.
Если электромагнитная волна распространяется в диэлектрике с проницаемостями ε и μ, выражения для плотностей энергии принимают вид:
$$ w_E = \frac{1}{2} \varepsilon E^2, \quad w_B = \frac{1}{2} \frac{B^2}{\mu} $$
а полная плотность энергии:
$$ w = \frac{1}{2} \left( \varepsilon E^2 + \frac{B^2}{\mu} \right) $$
При этом вектор Пойнтинга:
$$ \vec{S} = \frac{1}{\mu} \vec{E} \times \vec{B} $$
Скорость распространения волны в веществе:
$$ v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}} $$
Для плоской волны в веществе, как и в вакууме, справедливо соотношение $B = \frac{E}{v}$, и средний поток энергии:
$$ \langle S \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon v E_0^2 $$
Электромагнитная волна не только переносит энергию, но и обладает импульсом. Плотность импульса волны связана с вектором Пойнтинга:
$$ \vec{p} = \frac{\vec{S}}{c^2} $$
Полное давление, которое оказывает волна при полном поглощении, определяется как:
$$ P = \frac{\langle S \rangle}{c} $$
Если волна полностью отражается от поверхности, то давление удваивается:
$$ P = \frac{2 \langle S \rangle}{c} $$
Это явление лежит в основе работы световых парусов и детекторов давления излучения.
Связь между изменением плотности энергии в объёме и потоком энергии через его границу устанавливается уравнением непрерывности для энергии, или теоремой Пойнтинга:
$$ \frac{\partial w}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{S} = -\vec{J} \cdot \vec{E} $$
Здесь J⃗ — плотность тока, −J⃗ ⋅ E⃗ — мощность, потребляемая токами в веществе.
Уравнение Пойнтинга показывает, что изменение плотности энергии во времени связано с расходимостью вектора потока энергии и потерями энергии на джоулев нагрев.
В стоячих волнах, возникающих в резонаторах или на концах линий передачи, характер распределения энергии отличается от бегущих волн. В разные моменты времени энергия может концентрироваться попеременно в электрическом или магнитном поле. Например, при отражении плоской волны от идеального проводника формируется стоячая волна, где:
Суммарная энергия остаётся постоянной, но периодически преобразуется между электрической и магнитной формой.
Формулы для плотности энергии и потока энергии можно получить непосредственно из уравнений Максвелла. Эта связь подчеркивает глубокую физическую взаимосвязь между законами электродинамики и законами сохранения. Уравнения Максвелла не только описывают поля, но и позволяют вывести фундаментальные законы переноса энергии и импульса.
Понимание энергетических характеристик электромагнитных волн имеет ключевое значение в радиотехнике, фотонике, оптике, квантовой электронике и астрофизике. Расчёт потока энергии лежит в основе проектирования антенн, лазеров, микроволновых печей, солнечных панелей, радиолокационных и коммуникационных систем. Также энергетический подход используется в анализе поглощения и рассеяния волн, в том числе в задачах взаимодействия света с веществом.