Энергия заряженного конденсатора

Когда конденсатор заряжается, работа внешнего источника тока тратится на создание электрического поля между его обкладками. Это поле обладает энергией. Таким образом, энергия, запасённая в конденсаторе, — это энергия его электрического поля. Рассмотрим количественное описание этой энергии.

Пусть конденсатор с ёмкостью C заряжен до разности потенциалов U, при этом на его обкладках находятся заряды +q и −q.

Для нахождения энергии, запасённой в конденсаторе, нужно определить работу, совершаемую при его зарядке.

Работа при зарядке конденсатора

Рассмотрим процесс медленной зарядки. На начальном этапе на обкладках заряда ещё нет, напряжение равно нулю. Пусть в некоторый момент времени заряд на положительной обкладке равен q′. Тогда разность потенциалов между обкладками в этот момент:

$$ U' = \frac{q'}{C} $$

Если добавить бесконечно малый заряд dq′, то работа, совершаемая источником тока, равна:

$$ dA = U' \cdot dq' = \frac{q'}{C} dq' $$

Чтобы найти полную работу, нужно проинтегрировать по заряду от 0 до q:

$$ A = \int_0^q \frac{q'}{C} \, dq' = \frac{1}{C} \int_0^q q' \, dq' = \frac{1}{C} \cdot \frac{q^2}{2} = \frac{q^2}{2C} $$

Эта работа идёт на создание электрического поля между обкладками — следовательно, это и есть энергия заряженного конденсатора:

$$ W = \frac{q^2}{2C} $$

Альтернативные формы записи

Используя связь q = CU, энергию можно выразить в нескольких эквивалентных формах:

$$ W = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} q U $$

Каждое выражение удобно в зависимости от известного набора величин.

Распределение энергии в диэлектрике

Энергия, запасённая в конденсаторе, локализуется в электрическом поле между обкладками. Вакуум или диэлектрик между обкладками играет роль носителя этой энергии. Плотность энергии электрического поля определяется как энергия, приходящаяся на единицу объёма:

$$ w = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon E^2}{2} $$

Здесь:

  • ε0 — электрическая постоянная;
  • ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками;
  • E — напряжённость электрического поля.

Если между пластинами вакуум, то ε = 1.

Полная энергия поля получается интегрированием по всему объёму, где существует поле:

$$ W = \int_V w \, dV = \int_V \frac{\varepsilon_0 \varepsilon E^2}{2} \, dV $$

Для плоского конденсатора с площадью обкладок S, расстоянием между ними d и однородным полем $E = \frac{U}{d}$, получаем:

$$ W = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon}{2} \left( \frac{U}{d} \right)^2 S d = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \varepsilon \frac{S}{d} U^2 = \frac{1}{2} C U^2 $$

что полностью согласуется с ранее полученной формулой.

Влияние диэлектрика

Подставим выражение для ёмкости плоского конденсатора:

$$ C = \varepsilon_0 \varepsilon \frac{S}{d} $$

Из этого видно, что при наличии диэлектрика энергия возрастает пропорционально ε, если заряд постоянен. Однако поведение энергии при внесении диэлектрика зависит от условий:

  • Если заряд сохраняется (изолированный конденсатор): ёмкость увеличивается, напряжение уменьшается, но энергия поля:

    $$ W = \frac{q^2}{2C} $$

    уменьшается при росте C. Значит, часть энергии уходит — и действительно, работа совершается силами притяжения между диэлектриком и обкладками при его вдвигании.

  • Если напряжение сохраняется (подключён к источнику): заряд растёт, ёмкость растёт, энергия:

    $$ W = \frac{1}{2} C U^2 $$

    возрастает. В этом случае энергия поступает от источника.

Энергия системы нескольких конденсаторов

Если несколько конденсаторов соединены, необходимо учитывать характер соединения:

  • При последовательном соединении общий заряд одинаков, и общее напряжение равно сумме частных. Тогда энергия системы:

    $$ W = \sum_i \frac{q^2}{2C_i} $$

  • При параллельном соединении общее напряжение одинаково, и общий заряд — сумма зарядов. Тогда:

    $$ W = \sum_i \frac{1}{2} C_i U^2 $$

При любом соединении важно помнить, что энергия всей системы не всегда равна сумме энергий отдельных конденсаторов, особенно если после соединения происходят перераспределения заряда (например, при замыкании двух заряженных конденсаторов).

Энергия при перераспределении зарядов

Рассмотрим два одинаковых конденсатора: один заряжен, другой нет. Если их соединить параллельно, произойдёт перераспределение заряда. Итоговая энергия меньше исходной. Разность энергий выделяется, например, в виде тепла.

Пусть оба конденсатора имеют ёмкость C. Первый заряжен до напряжения U, второй — разряжен.

Начальная энергия:

$$ W_1 = \frac{1}{2} C U^2 $$

После соединения общее напряжение $U' = \frac{U}{2}$, общий заряд q = CU. Тогда новая энергия:

$$ W_2 = 2 \cdot \frac{1}{2} C \left( \frac{U}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} C U^2 $$

Половина энергии исчезает — она превращается, например, в тепло, излучение или другие формы энергии.

Учет энергии в практических приложениях

Понимание распределения и изменения энергии в системе конденсаторов важно при:

  • проектировании источников импульсной энергии;
  • работе устройств накопления и передачи энергии (например, дефибрилляторы, вспышки);
  • оценке потерь при коммутации зарядов;
  • анализе сил, действующих на диэлектрики и проводники внутри конденсаторных структур.

Также энергия конденсатора — ключевой элемент в построении теоретических моделей взаимодействия электрических систем, особенно в электростатике.

Оглавление