Когда заряженная частица движется с ускорением, она испускает электромагнитное излучение. Это фундаментальное положение классической электродинамики, вытекающее из уравнений Максвелла и принципа суперпозиции. Энергия, теряемая частицей в виде излучения, определяется важной формулой, известной как формула Лармора.
Формула Лармора применяется для ненаблюдаемой в квантовом масштабе ситуации — медленно движущегося (нерелятивистского) точечного заряда с ускорением. Она выражает мощность излучения, испускаемую точечным зарядом в свободном пространстве.
Для заряда q, движущегося с ускорением a, мощность излучения P, испускаемая во все направления, даётся формулой:
$$ P = \frac{q^2 a^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} $$
где:
В гауссовой системе единиц эта же формула записывается проще:
$$ P = \frac{2 q^2 a^2}{3 c^3} $$
Для получения формулы Лармора необходимо рассмотреть структуру электромагнитного поля, создаваемого ускоренным зарядом. Используются решения уравнений Максвелла для точечного заряда с переменным ускорением — так называемые поля Лиенара–Вихерта.
В зоне большого удаления (радиационная зона), напряжённость электрического поля имеет вид:
$$ \mathbf{E}_{\text{изл}} = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 c^2} \left[ \frac{\mathbf{n} \times \left( \mathbf{n} \times \mathbf{a} \right)}{R} \right] $$
где:
Магнитное поле в этой зоне определяется соотношением:
Bизл = n × Eизл/c
Мощность, излучаемая через сферическую поверхность радиуса R, определяется через вектор Пойнтинга:
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} $$
Подставляя Eизл и Bизл, интегрируя поток вектора Пойнтинга по всей сфере, получаем выражение для полной излучаемой мощности, совпадающее с формулой Лармора.
Излучение ускоренного заряда неизотропно. Интенсивность зависит от угла между направлением ускорения a и направлением наблюдения n.
Мощность, излучаемая в телесный угол dΩ, определяется как:
$$ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2 a^2 \sin^2 \theta}{16\pi^2 \varepsilon_0 c^3} $$
где θ — угол между a и n. Это выражение показывает, что максимум излучения наблюдается в плоскости, перпендикулярной ускорению, а вдоль ускорения и против него излучение отсутствует.
Нерелятивистское приближение: Формула Лармора справедлива только для скоростей, значительно меньших скорости света. При скоростях, сравнимых с c, требуется использовать обобщение — формулу Лиенара.
Нет зависимости от скорости: Мощность излучения зависит только от ускорения и не зависит от текущей скорости заряда (при условии её малости относительно c).
Энергетические потери: Излучение — это механизм потери энергии. Ускоренный заряд теряет энергию, передавая её в виде электромагнитной волны окружающему пространству. Эта энергия уносится в бесконечность.
Применение к колебательным системам: Если заряд совершает гармонические колебания (например, a(t) = −ω2x0cos (ωt)), то излучение будет происходить на частоте ω, и средняя мощность излучения можно выразить через амплитуду ускорения.
Если ускорение a постоянно в течение времени Δt, то энергия, излучённая зарядом:
$$ W = P \cdot \Delta t = \frac{q^2 a^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} \cdot \Delta t $$
Это важно при оценке потерь энергии, например, в ускорителях частиц, в синхротронном излучении, в антеннах, а также при анализе атомных переходов в рамках классической теории (до введения квантовой модели).
Для релятивистского движения (скорости, близкие к c) используется обобщение формулы Лармора:
$$ P = \frac{q^2 \gamma^6}{6\pi \varepsilon_0 c^3} \left[ \mathbf{a}^2 - \frac{(\mathbf{v} \times \mathbf{a})^2}{c^2} \right] $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ — лоренц-фактор.
Эта формула показывает усиление излучения при высоких скоростях и его направленность вперёд (из-за релятивистского эффекта “загущения” излучения в направлении движения).
Формула Лармора лежит в основе объяснения:
Рассмотрим электрон с зарядом q = −e, находящийся в гармоническом колебательном движении с ускорением a = 1018 м/с2. Подставим в формулу Лармора в СИ:
$$ P = \frac{e^2 a^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} $$
С учётом e = 1.6 × 10−19 Кл, ε0 = 8.85 × 10−12 Ф/м, c = 3 × 108 м/с:
$$ P \approx \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2 \cdot (10^{18})^2}{6\pi \cdot 8.85 \times 10^{-12} \cdot (3 \times 10^8)^3} \approx 5.7 \times 10^{-6} \, \text{Вт} $$
Даже при огромных ускорениях излучение одного электрона оказывается чрезвычайно слабым — что объясняет необходимость макроскопических токов или больших плотностей заряда для создания измеримого электромагнитного излучения.
При излучении частица теряет энергию, и, согласно закону сохранения импульса, должна испытывать обратное воздействие со стороны своего собственного поля — сила радиационного трения или сила Абрахама–Лоренца:
$$ \mathbf{F}_r = \frac{q^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} \frac{d\mathbf{a}}{dt} $$
Это сила пропорциональна производной ускорения по времени и представляет собой тонкий и сложный аспект классической электродинамики, имеющий связь с понятием “обратной связи” от поля на источник. Она приводит к математическим трудностям: уравнение движения становится дифференциальным уравнением третьего порядка, что влечёт за собой так называемые решения с упреждением и взрывные траектории. Эти проблемы не разрешимы в рамках классической теории и требуют квантово-релятивистского описания.