Формулы Френеля

Граничные условия на поверхности раздела

При распространении электромагнитной волны из одной среды в другую на границе между средами возникают явления отражения и преломления. Пусть волна падает под углом θ_i из первой среды (с показателем преломления n₁, проницаемостями ε₁, μ₁) на границу со второй средой (n₂, ε₂, μ₂).

Для получения выражений, описывающих амплитуды отражённой и преломлённой волн, используются граничные условия Максвелла. Для границы, не содержащей поверхностных токов и зарядов, справедливо:

• Тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей непрерывны:

  $$ \begin{aligned} &E_{1t} = E_{2t}, \\ &H_{1t} = H_{2t}. \end{aligned} $$

Эти условия применяются к плоской электромагнитной волне, которая падает на границу раздела двух диэлектриков.

Геометрия падения волны

Рассматриваются две поляризации волны:

1. Параллельная поляризация (p-поляризация): вектор E лежит в плоскости падения.
2. Перпендикулярная поляризация (s-поляризация): вектор E перпендикулярен плоскости падения.

Пусть падающая волна имеет амплитуду E_i, отражённая — E_r, преломлённая — E_t. Все волны предполагаются монохроматическими и плоскими.

Согласно закону отражения:

θ_r = θ_i,

а по закону преломления (Снеллиуса):

n₁sin θ_i = n₂sin θ_t.

Формулы Френеля для s-поляризации

Для случая, когда электрическое поле перпендикулярно плоскости падения, коэффициенты отражения и преломления по амплитуде имеют вид:

$$ r_s = \frac{n_1 \cos \theta_i - n_2 \cos \theta_t}{n_1 \cos \theta_i + n_2 \cos \theta_t}, \quad t_s = \frac{2n_1 \cos \theta_i}{n_1 \cos \theta_i + n_2 \cos \theta_t}. $$

Здесь:

• r_s — коэффициент отражения по амплитуде для s-поляризации,
• t_s — коэффициент преломления по амплитуде.

Коэффициенты по интенсивности находятся возведением амплитудных коэффициентов в квадрат:

$$ R_s = |r_s|^2, \quad T_s = \frac{n_2 \cos \theta_t}{n_1 \cos \theta_i} |t_s|^2. $$

Фактор $\frac{n_2 \cos \theta_t}{n_1 \cos \theta_i}$ обеспечивает соблюдение закона сохранения энергии: R_s + T_s = 1 при отсутствии поглощения.

Формулы Френеля для p-поляризации

Когда электрическое поле лежит в плоскости падения, выражения становятся:

$$ r_p = \frac{n_2 \cos \theta_i - n_1 \cos \theta_t}{n_2 \cos \theta_i + n_1 \cos \theta_t}, \quad t_p = \frac{2n_1 \cos \theta_i}{n_2 \cos \theta_i + n_1 \cos \theta_t}. $$

Аналогично:

$$ R_p = |r_p|^2, \quad T_p = \frac{n_2 \cos \theta_t}{n_1 \cos \theta_i} |t_p|^2. $$

Эти выражения справедливы для немагнитных сред (μ₁ = μ₂ = μ₀). В более общем случае (например, в случае ферромагнетиков) в формулы входят проницаемости μ₁, μ₂.

Угол Брюстера

Для p-поляризации существует особый угол падения, называемый углом Брюстера θ_B, при котором отражённая волна отсутствует:

$$ r_p = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta_B = \arctan\left(\frac{n_2}{n_1}\right). $$

При этом отражённая и преломлённая волны становятся взаимно перпендикулярными. Это используется, например, для создания поляризованных лучей.

Полный внутренний отражение

Если n₁ > n₂, то при угле падения, превышающем критический угол θ_c, выполняется:

$$ \sin \theta_c = \frac{n_2}{n_1}. $$

Для θ_i > θ_c волна полностью отражается, и коэффициенты отражения становятся равными единице по модулю: R = 1. Преломлённая волна становится затухающей (эвесцентной), распространяющейся вдоль границы, но убывающей в глубину второй среды.

Поведение на границе металл–диэлектрик

Если одна из сред является проводником, например, металл, ситуация усложняется. Показатель преломления становится комплексным:

ñ = n + iκ,

где n — действительная часть, κ — коэффициент поглощения. Формулы Френеля также применимы, но выражения становятся комплексными, что отражает как фазовый сдвиг, так и поглощение.

В этом случае отражение всегда велико, особенно для оптического диапазона, а коэффициенты преломления характеризуют не столько переданную мощность, сколько проникновение поля в кожу металла (связанное со скин-эффектом).

Энергетический смысл коэффициентов

Коэффициенты R и T описывают долю падающей мощности, которая отражается или проходит через границу. Их можно выразить через поток энергии с использованием вектора Пойнтинга S. Учитывая, что |S| ∝ ncos θ|E|², приходим к корректным формулам для коэффициентов интенсивности:

$$ T = \frac{n_2 \cos \theta_t}{n_1 \cos \theta_i} |t|^2, \quad R = |r|^2. $$

Графики и интерпретация

Графики зависимости R_s(θ_i) и R_p(θ_i) демонстрируют:

• Для s-поляризации отражение монотонно возрастает с увеличением θ_i.
• Для p-поляризации наблюдается минимум при угле Брюстера.
• В области полного внутреннего отражения R = 1, независимо от поляризации.

Это поведение важно в прикладных задачах — от оптики до радиофизики: проектирование линз, покрытий с низким отражением, волноводов, фиброоптики и др.

Волновая интерференция и многослойные структуры

При наличии нескольких границ, как в тонких плёнках, возникает интерференция отражённых и преломлённых волн. Формулы Френеля применяются на каждой границе, и амплитуды волн суммируются с учётом фазовых сдвигов. Это используется при создании антибликовых покрытий, зеркал высокой отражательной способности и диэлектрических фильтров.

Понимание формул Френеля, их физических последствий и математических форм является важнейшим компонентом изучения волновой оптики и электродинамики.