Непрерывность и разрывы полей на границах сред
При переходе электромагнитного поля через границу двух различных сред, характеристики поля могут претерпевать изменения, вызванные различием в электрических и магнитных свойствах материалов. Эти изменения строго подчиняются граничным условиям, которые выводятся из уравнений Максвелла. Рассмотрим поверхность раздела двух сред с различными электрическими и магнитными проницаемостями: первая среда характеризуется параметрами ε1, μ1, вторая — ε2, μ2. Пусть поверхность границы обладает нормалью n⃗, направленной из первой среды во вторую.
Граничные условия для векторного поля D⃗ (вектор электрической индукции)
Рассмотрим закон Гаусса для электрического поля в интегральной форме:
∮SD⃗ ⋅ dS⃗ = Qвнутр,
где S — замкнутая поверхность, а Qвнутр — полный свободный заряд, заключённый внутри этой поверхности. Возьмём малый «пилюльный» цилиндр, ось которого перпендикулярна границе раздела сред, с высотой, стремящейся к нулю.
Если на границе имеется поверхностная плотность свободного заряда σсв, то:
D⃗2⟂ − D⃗1⟂ = σсв,
где D⃗1⟂, D⃗2⟂ — нормальные (перпендикулярные) компоненты вектора D⃗ по обе стороны границы.
Если же на границе нет свободных зарядов, то нормальная компонента вектора D⃗ непрерывна:
D⃗2⟂ = D⃗1⟂.
Граничные условия для векторного поля E⃗ (вектор напряженности электрического поля)
Из циркуляционного закона Фарадея:
$$ \oint_C \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}, $$
принимая контур C в виде прямоугольника, перпендикулярного границе, и устремляя его высоту к нулю, получаем:
E⃗2∥ − E⃗1∥ = 0,
то есть тангенциальная компонента вектора E⃗ непрерывна на границе:
E⃗2∥ = E⃗1∥.
Граничные условия для векторного поля B⃗ (вектор магнитной индукции)
Из закона Гаусса для магнитного поля:
∮SB⃗ ⋅ dS⃗ = 0,
так как магнитные монополи отсутствуют, результирующий поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Применяя его к малому цилиндру, ось которого перпендикулярна границе, получаем:
B⃗2⟂ = B⃗1⟂,
то есть нормальная компонента вектора B⃗ непрерывна на границе раздела сред.
Граничные условия для векторного поля H⃗ (вектор напряженности магнитного поля)
Циркуляционный закон Ампера с током смещения:
$$ \oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_{\text{св}} + \frac{d}{dt} \int_S \vec{D} \cdot d\vec{S}. $$
Для стационарных полей или при отсутствии смещённого тока, в случае малого прямоугольного контура, лежащего в плоскости границы, имеем:
H⃗2∥ − H⃗1∥ = K⃗св × n⃗,
где K⃗св — плотность поверхностного тока, текущего вдоль границы. При отсутствии поверхностного тока:
H⃗2∥ = H⃗1∥.
Таким образом, тангенциальная компонента H⃗ испытывает скачок только при наличии поверхностного тока.
Обобщённая таблица граничных условий
| Поле | Компонента | Условие при переходе через границу | Источник разрыва |
|---|---|---|---|
| D⃗ | нормальная | D⃗2⟂ − D⃗1⟂ = σсв | поверхностный заряд |
| E⃗ | тангенциальная | E⃗2∥ = E⃗1∥ | нет |
| B⃗ | нормальная | B⃗2⟂ = B⃗1⟂ | нет |
| H⃗ | тангенциальная | H⃗2∥ − H⃗1∥ = K⃗св × n⃗ | поверхностный ток |
Особенности при наличии поляризуемых и намагничиваемых сред
В веществе поведение полей усложняется за счёт вкладов связанных зарядов и токов. Тогда электрическая индукция и напряжённость связаны:
D⃗ = ε0E⃗ + P⃗,
а магнитная индукция:
B⃗ = μ0(H⃗ + M⃗),
где P⃗ — вектор поляризации, M⃗ — вектор намагниченности. На границе веществ с разной поляризуемостью или намагниченностью возникают связанные поверхностные заряды и токи, которые влияют на граничные условия:
связанный поверхностный заряд:
σсв = P⃗2 ⋅ n⃗ − P⃗1 ⋅ n⃗,
связанный поверхностный ток:
K⃗св = M⃗1 × n⃗ − M⃗2 × n⃗.
Это уточнение особенно важно в задачах, связанных с диэлектриками, ферромагнетиками, пара- и диамагнетиками.
Примеры применения граничных условий
Граница вакуума и диэлектрика При переходе через границу из вакуума (ε0) в диэлектрик (ε), при отсутствии свободного заряда, выполняются условия:
E⃗вакуум∥ = E⃗диэлектрик∥, ε0E⃗вакуум⟂ = εE⃗диэлектрик⟂.
Граница двух магнитных материалов Для границы сред с разными μ, при отсутствии поверхностного тока:
$$ \vec{B}_1^{\perp} = \vec{B}_2^{\perp}, \quad \frac{\vec{B}_1^{\parallel}}{\mu_1} = \frac{\vec{B}_2^{\parallel}}{\mu_2}. $$
Проводник и электромагнитное поле Внутри идеального проводника E⃗ = 0, а значит, тангенциальная компонента E⃗ на поверхности проводника тоже обращается в ноль:
E⃗∥ = 0.
Нормальная компонента D⃗ даёт поверхностную плотность заряда:
D⃗⟂ = σсв.
Физическая интерпретация граничных условий
Граничные условия отражают фундаментальные законы сохранения: зарядов и потоков поля. Непрерывность определённых компонент связана с отсутствием источников (зарядов или токов) на границе, а разрывы возникают только при наличии физических источников поля — свободных зарядов или токов. Это делает граничные условия мощным инструментом при решении широкого класса задач — от классической электростатики до волновой оптики и волноводов.