Электромагнитное поле обладает не только энергией, но и импульсом. Это утверждение следует из фундаментальных принципов классической электродинамики и подтверждается как теоретическими выкладками, так и экспериментальными данными. При взаимодействии с веществом электромагнитное поле может передавать этому веществу не только энергию, но и импульс. Следовательно, для сохранения общего импульса необходимо учитывать вклад, приходящийся на само поле.
Передача импульса электромагнитным полем особенно ярко проявляется в таких явлениях, как давление света, отражение и поглощение излучения, излучение ускоренных зарядов, а также при анализе реактивных сил, действующих на антенны и заряды.
Вектор плотности импульса электромагнитного поля определяется через вектор Пойнтинга и скорость света. Для электромагнитного поля в вакууме:
$$ \vec{g} = \frac{1}{c^2} \vec{S} $$
где
Таким образом:
$$ \vec{g} = \frac{1}{4\pi c} \vec{E} \times \vec{B} $$
Это выражение показывает, что импульс поля пропорционален векторному произведению электрического и магнитного полей, то есть направлен так же, как поток энергии.
Интегральное выражение для полного импульса электромагнитного поля в некотором объеме V имеет вид:
$$ \vec{P}_{\text{поля}} = \int_V \vec{g} \, dV = \frac{1}{4\pi c} \int_V \vec{E} \times \vec{B} \, dV $$
Это выражение даёт полную сумму импульса, находящегося в поле в пределах заданного объёма.
Взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным полем подчиняется закону сохранения импульса. При этом необходимо учитывать как механический импульс частиц, так и импульс поля. Векторная форма закона сохранения импульса:
$$ \frac{d}{dt} \left( \vec{P}_{\text{частиц}} + \vec{P}_{\text{поля}} \right) = 0 $$
То есть при отсутствии внешнего воздействия сумма импульсов всех частиц и поля остаётся постоянной. Любое изменение механического импульса сопровождается соответствующим изменением импульса поля, и наоборот.
Для более точного описания потока и передачи импульса в электромагнитном поле вводится тензор напряжений Максвелла Tij, компоненты которого определяются как:
$$ T_{ij} = \frac{1}{4\pi} \left( E_i E_j + B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} (E^2 + B^2) \right) $$
где
Этот тензор описывает поток i-й компоненты импульса через единичную поверхность, перпендикулярную j-ой координате. Тензор напряжений позволяет записать локальную форму закона сохранения импульса:
$$ \frac{\partial g_i}{\partial t} + \sum_{j=1}^3 \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_j} = -f_i $$
где fi — компонент плотности силы, действующей на заряды в поле.
Из уравнения плотности импульса следует, что электромагнитное излучение оказывает давление на тело. Пусть плоская электромагнитная волна падает нормально на идеально поглощающее тело. Мощность излучения на единицу площади:
$$ S = \frac{c}{4\pi} E B $$
А давление, оказываемое волной, равно:
$$ p = \frac{S}{c} = \frac{1}{4\pi} E B = \frac{E^2}{4\pi} $$
Это значение соответствует случаю полного поглощения. Если происходит полное отражение, давление удваивается:
$$ p = \frac{2S}{c} $$
Таким образом, свет действительно переносит импульс, и этот импульс может быть передан поглотителю или отражателю.
Когда заряд движется с ускорением, он излучает электромагнитные волны, которые уносят как энергию, так и импульс. Соответственно, заряд испытывает реактивную силу, называемую радиационной отдачей. В простейшем приближении сила радиационной отдачи (в классической теории) описывается выражением:
$$ \vec{F}_{\text{отд}} = \frac{2e^2}{3c^3} \dddot{\vec{r}} $$
Это третий по времени производный зарядной координаты, что указывает на сложность учета отдачи. Унос импульса полем напрямую связан с этой силой: теряя импульс, заряд передаёт его полю.
Импульс электромагнитного поля зависит не только от его интенсивности, но и от структуры поля. Например, в стоячей волне (сумма двух противоположно бегущих волн) средний вектор Пойнтинга равен нулю, и, следовательно, средняя плотность импульса также равна нулю. Однако мгновенные значения могут быть ненулевыми.
В бегущей волне, напротив, направление импульса совпадает с направлением распространения волны, и его плотность постоянна по фазе.
В случае замкнутых токов и проводящих структур (например, антенн) поле, создаваемое токами, может не только излучать импульс, но и взаимодействовать с токами обратно. Суммарная сила, действующая на токи, может быть определена через поток тензора напряжений Максвелла через поверхность, охватывающую проводник:
F⃗ = ∫STij dSj
Этот подход позволяет вычислять силы на обобщённых токах и системах без непосредственного обращения к силам Лоренца для каждого отдельного элемента.
В рамках специальной теории относительности импульс и энергия электромагнитного поля объединяются в четырёхмерный вектор энергии-импульса. Импульсная часть этого вектора связана с компонентами тензора Tμν, и плотность импульса входит в пространственные компоненты T0i.
Плотность полной четырёхмерной энергии-импульса записывается как:
$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} \left( F^{\mu\alpha} F^\nu_{\ \alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right) $$
где Fμν — тензор электромагнитного поля, ημν — метрический тензор пространства Минковского.
Таким образом, полная формула для импульса электромагнитного поля в вакууме может быть записана как:
$$ \vec{P}_{\text{поля}} = \frac{1}{4\pi c} \int \vec{E} \times \vec{B} \, dV $$
Она позволяет вычислять импульс поля в любой заданной конфигурации, зная распределения полей. Это фундаментальное соотношение связывает поля, их взаимодействие с веществом и законы сохранения, лежащие в основе всей классической и квантовой электродинамики.