Интерференция электромагнитных волн основана на принципе суперпозиции, согласно которому результирующее электрическое и магнитное поля при наложении нескольких волн равны векторной сумме соответствующих полей каждой волны в данной точке пространства. Это фундаментальное свойство линейных уравнений Максвелла. Пусть две электромагнитные волны распространяются в пространстве и описываются следующими выражениями:
E⃗1 = E⃗01cos (k⃗1 ⋅ r⃗ − ωt + φ1), E⃗2 = E⃗02cos (k⃗2 ⋅ r⃗ − ωt + φ2)
H⃗1 = H⃗01cos (k⃗1 ⋅ r⃗ − ωt + φ1), H⃗2 = H⃗02cos (k⃗2 ⋅ r⃗ − ωt + φ2)
Результирующее поле:
E⃗ = E⃗1 + E⃗2, H⃗ = H⃗1 + H⃗2
Если волны когерентны, т.е. имеют постоянную разность фаз, и одинаковую частоту, их интерференция может быть как конструктивной, так и деструктивной, в зависимости от фазового сдвига и направления векторов поля.
Для устойчивой интерференционной картины необходимо выполнение условия когерентности, заключающегося в следующем:
Эти условия часто достигаются с помощью деления волны от одного источника на две с последующим совмещением (метод Юнга, интерферометр Майкельсона и др.).
Рассмотрим частный случай: интерференция двух монохроматических волн одинаковой амплитуды, одинаковой поляризации и одинакового направления распространения. Пусть:
E⃗1 = E⃗0cos (kx − ωt), E⃗2 = E⃗0cos (kx − ωt + δ)
Тогда результирующее поле:
$$ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 2 \vec{E}_0 \cos\left(\frac{\delta}{2}\right) \cos\left(kx - \omega t + \frac{\delta}{2}\right) $$
Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды:
$$ I \propto |\vec{E}|^2 = 4E_0^2 \cos^2\left(\frac{\delta}{2}\right) $$
Интерференционная картина будет наблюдаться как чередование максимумов и минимумов интенсивности при изменении разности фаз δ. При δ = 0, 2π, 4π,… — полный максимум (конструктивная интерференция); при δ = π, 3π,… — минимум (деструктивная интерференция).
Пусть две волны распространяются под углом друг к другу. В случае одинаковых частот и амплитуд результирующее поле будет иметь пространственную модуляцию:
E⃗(r⃗, t) = E⃗0[cos (k⃗1 ⋅ r⃗ − ωt) + cos (k⃗2 ⋅ r⃗ − ωt)]
Используем формулу суммы косинусов:
$$ \vec{E}(\vec{r}, t) = 2 \vec{E}_0 \cos\left( \frac{\vec{k}_1 - \vec{k}_2}{2} \cdot \vec{r} \right) \cos\left( \frac{\vec{k}_1 + \vec{k}_2}{2} \cdot \vec{r} - \omega t \right) $$
Таким образом, в пространстве возникает интерференционная картина в виде полос, нормаль к которым направлена вдоль вектора k⃗1 − k⃗2. Период интерференционной структуры зависит от угла между волнами.
Положение максимумов интерференции определяется условием:
$$ \Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta = 2\pi m \Rightarrow \Delta = m \lambda $$
Положение минимумов:
$$ \Delta = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda $$
где Δ — разность хода волн, λ — длина волны, m — целое число.
Таким образом, интерференционные полосы имеют характерный пространственный период:
$$ \Lambda = \frac{\lambda}{2 \sin(\theta/2)} $$
где θ — угол между направлением распространения двух волн.
Хотя при интерференции результирующее поле может быть в два раза больше по амплитуде (в случае конструктивной интерференции), общая энергия не удваивается. Важно понимать, что интерференция — это перераспределение энергии в пространстве. В области максимумов интенсивность выше, в области минимумов — ниже. Однако суммарная энергия, интегрированная по всему пространству, сохраняется, что согласуется с законами сохранения энергии.
Если две волны имеют случайные (временнó изменяющиеся) направления поляризации или не когерентны, то интерференции как устойчивой картины не наблюдается. Например, при сложении двух неполяризованных волн одинаковой частоты результирующая интенсивность:
I = I1 + I2
Без интерференционного члена. Это связано с тем, что при усреднении по времени интерференционный член (в виде косинуса разности фаз) обращается в ноль.
Пример интерференции в реальных системах — интерференция в тонких пленках, например, в мыльной пленке или пленке масла на воде. Свет, отражённый от верхней и нижней границ пленки, интерферирует. Разность хода зависит от толщины пленки и угла падения:
Δ = 2ndcos θ
где n — показатель преломления пленки, d — её толщина, θ — угол преломления.
Особенности интерференции в тонких пленках:
Интерферометры используются для точного измерения длины волн, показателей преломления, малых перемещений. Примеры:
Чувствительность таких приборов позволяет регистрировать изменения порядка нанометра.
В радиофизике интерференция также широко применяется. В отличие от оптики, здесь проще создавать когерентные источники. Интерференционные эффекты наблюдаются при:
Фазовый сдвиг в радиодиапазоне может быть легко регулируемым, что используется для управления направленностью излучения и приёма.
Если электромагнитная волна проходит через среду, в которой фазовая скорость зависит от направления или частоты (например, в кристалле или плазме), условия интерференции усложняются. Разность фаз между двумя волнами зависит не только от длины хода, но и от свойств среды:
$$ \Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \int (n_1 - n_2) \, dl $$
где n1 и n2 — показатели преломления для двух поляризаций или направлений. Это лежит в основе интерференции в бипризмах, интерферометрах на кристаллах и других устройствах.
При интерференции волн с различными частотами интерференционная картина теряет чёткость. Если волны имеют широкий спектр (например, белый свет), то максимумы и минимумы накладываются друг на друга, и интерференционные полосы размываются или исчезают. Однако с помощью фильтрации и узкополосных источников можно выделять отдельные компоненты и восстанавливать интерференционные эффекты. Спектральный состав также влияет на ширину и контраст интерференционных полос.