Электрическим диполем называется система из двух равных по модулю, но противоположных по знаку зарядов +q и −q, разделённых малым расстоянием d. Электрический дипольный момент определяется выражением:
p = qd
Если диполь покоится или движется равномерно, он не излучает электромагнитную волну. Излучение возникает только при ускоренном движении зарядов, в частности — при временной зависимости дипольного момента. Это и есть основное условие электромагнитного излучения диполя:
$$ \frac{d^2\mathbf{p}}{dt^2} \ne 0 $$
Пусть дипольный момент меняется по гармоническому закону:
p(t) = p0cos (ωt)
Для вычисления полей, создаваемых таким диполем, удобно воспользоваться векторным и скалярным потенциалами в кулоновской калибровке. В волновой зоне (на больших расстояниях r ≫ λ), излучение описывается ретардированными потенциалами:
$$ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{1}{r} \frac{d\mathbf{p}(t_r)}{dt}, \quad \varphi(\mathbf{r}, t) \approx 0 $$
где $t_r = t - \frac{r}{c}$ — ретардиированное время. Поля в излучающей зоне получаются из потенциалов:
$$ \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A} $$
В зоне излучения электромагнитные поля от диполя поперечны и уменьшаются как 1/r. Пусть диполь направлен вдоль оси z, т.е. p0 = p0ez. В этом случае компоненты полей в сферических координатах:
$$ E_\theta = -\frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{4\pi r} \sin\theta \cos(\omega t - kr), \quad B_\phi = -\frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{4\pi c r} \sin\theta \cos(\omega t - kr) $$
Остальные компоненты в зоне излучения (радиальные) пренебрежимо малы. Электрическое поле перпендикулярно к радиус-вектору и лежит в меридиональной плоскости, а магнитное — перпендикулярно как к E, так и к r.
Энергия излучения переносится в пространстве вектором Пойнтинга:
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} $$
Подставляя выражения для полей, получаем усреднённую по времени плотность потока энергии:
$$ \langle S \rangle = \frac{1}{2\mu_0} E_\theta^2 = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 c r^2} \sin^2\theta $$
Угловое распределение интенсивности излучения:
$$ \frac{dP}{d\Omega} = r^2 \langle S \rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 c} \sin^2\theta $$
Излучение максимально в направлении, перпендикулярном диполю (θ = π/2) и отсутствует вдоль его оси (θ = 0, π).
Полная излучаемая мощность находится интегрированием по всем направлениям:
$$ P = \int \frac{dP}{d\Omega} d\Omega = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{32\pi^2 c} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta $$
Вычисляя интеграл, получаем:
$$ P = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c} $$
С использованием связи μ0c2 = 1/ε0, можно также записать:
$$ P = \frac{p_0^2 \omega^4}{12\pi \varepsilon_0 c^3} $$
Предполагается, что длина волны излучения λ значительно превышает размеры диполя:
λ ≫ d ⇒ kd ≪ 1
Это условие называется длинноволновым или дипольным приближением. При его выполнении можно считать, что распределение токов и зарядов в диполе не создаёт заметных запаздываний и фазовых сдвигов.
Рассмотрим идеализированный колебательный диполь: два заряда ±q, связанные пружиной, выполняют гармонические колебания с частотой ω и амплитудой d. Тогда дипольный момент:
p(t) = qdcos (ωt)
И соответствующая мощность излучения:
$$ P = \frac{\mu_0 q^2 d^2 \omega^4}{12\pi c} $$
Таким образом, излучаемая мощность зависит от четвёртой степени частоты, квадрата амплитуды и квадрата заряда.
Дипольное излучение является основным механизмом излучения в самых разных физических системах:
Его простота делает его фундаментальным элементом при анализе излучения более сложных систем, включая квадрупольное, магнитное дипольное и прочие виды излучений.