Излучение ускоренного заряда описывается формулами Лиенара–Вихерта, которые обобщают электромагнитное поле движущейся заряженной частицы. В релятивистском случае, когда скорость частицы сравнима со скоростью света, ключевую роль играет релятивистский фактор Лоренца:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
Поля Лиенара–Вихерта для релятивистской частицы в точке наблюдения принимают вид:
$$ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left[ \frac{(1 - v^2/c^2)(\mathbf{n} - \mathbf{v}/c)}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c)^3 R^2} + \frac{\mathbf{n} \times [(\mathbf{n} - \mathbf{v}/c) \times \dot{\mathbf{v}}/c]}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c)^3 R} \right]_{\text{рет}} $$
где:
$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}$ — единичный вектор от положения частицы в момент излучения к точке наблюдения,
$\dot{\mathbf{v}}$ — ускорение частицы,
все величины берутся в ретаргированное время, удовлетворяющее уравнению:
$$ t_{\text{рет}} = t - \frac{R(t_{\text{рет}})}{c} $$
Первый член поля убывает как 1/R2 и соответствует кулоновскому полю (поле, связанное с наличием заряда), второй член убывает как 1/R и отвечает за излучение.
Излучаемая мощность в релятивистском случае определяется с использованием вектора Пойнтинга:
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} $$
Поле излучения доминирует на больших расстояниях, и его вклад в вектор Пойнтинга приводит к выражению:
$$ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2}{16\pi^2 \varepsilon_0 c} \left| \frac{\mathbf{n} \times \left[ (\mathbf{n} - \mathbf{v}/c) \times \dot{\mathbf{v}} \right]}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c)^3} \right|^2 $$
Это угловое распределение мощности указывает на направленность излучения при больших скоростях. Для релятивистской частицы максимальная мощность излучения сосредоточена в узком конусе в направлении движения: угол раскрытия порядка θ ∼ 1/γ.
Полная мощность излучения ускоренного заряда в релятивистском случае даётся формулой:
$$ P = \frac{q^2 \gamma^6}{6\pi \varepsilon_0 c^3} \left[ \dot{\mathbf{v}}^2 - \frac{(\mathbf{v} \times \dot{\mathbf{v}})^2}{c^2} \right] $$
В нерелятивистском пределе (v ≪ c) эта формула сводится к классической формуле Лармора:
$$ P = \frac{q^2 \dot{\mathbf{v}}^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} $$
Когда релятивистская частица движется в магнитном поле, например, по круговой траектории, она излучает синхротронное излучение, отличающееся сильной направленностью и спектральными особенностями.
Пусть частица с зарядом q и массой m движется в однородном магнитном поле B. Тогда центростремительное ускорение даёт:
$$ a = \frac{v^2}{R} = \frac{q v B}{\gamma m} $$
Полная мощность синхротронного излучения:
$$ P = \frac{q^2 a^2 \gamma^4}{6\pi \varepsilon_0 c^3} $$
Это выражение показывает, что мощность растёт пропорционально γ4, то есть с увеличением энергии частицы излучение резко усиливается.
Спектральное распределение синхротронного излучения имеет характерный максимум на частоте:
$$ \omega_c = \frac{3}{2} \gamma^3 \frac{c}{\rho} $$
где ρ — радиус кривизны траектории. Спектр излучения непрерывен и простирается до высоких частот, с экспоненциальным спадом выше ωc.
Формально спектральная плотность мощности:
$$ \frac{dP}{d\omega} = \frac{\sqrt{3} q^2 \gamma}{4\pi \varepsilon_0 c} \frac{\omega}{\omega_c} \int_{\omega/\omega_c}^\infty K_{5/3}(x) dx $$
где K5/3 — модифицированная функция Бесселя Макдональда.
Характерная особенность спектра — отсутствие дискретных линий и резкий спад после максимума.
При рассмотрении излучения релятивистских частиц важно учитывать, что приближение дипольного излучения, применимое в классической электродинамике при низких скоростях, становится недостаточным. Релятивистская частица излучает с участием более высоких мультипольных моментов, что приводит к анизотропному и недипольному характеру излучения.
Это особенно проявляется в экспериментах с ускорителями — в синхротронах и коллайдерах, где излучение релятивистских пучков электронов сопровождается остронаправленным излучением в области рентгеновского и гамма-диапазонов.
В пределе γ ≫ 1 большая часть излучения сосредоточена в узком телесном угле ΔΩ ∼ 1/γ2 вдоль направления движения частицы. Вектор Пойнтинга и электрическое поле на большом расстоянии имеют форму:
$$ |\mathbf{E}| \sim \frac{q a \sin \theta}{4\pi \varepsilon_0 c^2 R (1 - \beta \cos \theta)^3} $$
Из этого видно, что при θ ≈ 1/γ, поле и излучение становятся максимальными. Это приводит к эффекту “светового прожектора”, когда наблюдатель видит короткие, интенсивные импульсы излучения, возникающие при прохождении частицы мимо направления наблюдения.
Релятивистская частица, испытывающая торможение при прохождении сквозь вещество, также испускает излучение — тормозное излучение. Его спектр неограничен сверху и характеризуется сильным ростом мощности при увеличении энергии частицы.
Мощность тормозного излучения пропорциональна:
$$ P \sim Z^2 \frac{q^2 \gamma^2}{\varepsilon_0 c^3} \frac{1}{b^2} $$
где Z — заряд ядра, на котором тормозится частица, b — параметр воздействия.
Особенность брецстраhlung — возможность генерации фотонов с энергией, сравнимой с энергией самой частицы. Это важный процесс в ядерной физике и астрофизике (в частности, при взаимодействии космических лучей с веществом).
В случае движения системы заряженных частиц (например, bunch’а электронов в ускорителе), характер излучения зависит от согласованности их фаз. Если длина bunch’а меньше длины волны, излучение становится когерентным, и мощность растёт как квадрат числа частиц:
Pcoh ∝ N2
При некогерентном излучении:
Pincoh ∝ N
Когерентное излучение играет важную роль в создании источников мощного ТГц- и СВЧ-излучения, а также в физике ускорителей.
Релятивистские частицы и их излучение — краеугольный элемент астрофизических процессов. Синхротронное и тормозное излучение наблюдаются:
Излучение релятивистских электронов позволяет исследовать структуры межгалактических магнитных полей и процессы ускорения частиц.
В современных синхротронах и накопительных кольцах излучение релятивистских электронов используется как высокоэнергетический источник фотонов — от ультрафиолетового до рентгеновского диапазона. Такие источники находят применение в физике твёрдого тела, химии, биологии.
Синхротронное излучение учитывается и как фактор потерь энергии пучка, ограничивающий параметры коллайдеров. Для электронов потери на излучение особенно существенны, так как мощность теряется пропорционально γ4. Поэтому, например, протонные ускорители страдают от потерь гораздо меньше.
Такие особенности излучения релятивистской частицы лежат в основе современных представлений о взаимодействии ускоренных зарядов с электромагнитным полем и имеют фундаментальное значение как в прикладной, так и в теоретической физике.