Круговой ток представляет собой ток, текущий по тонкому проводящему кольцу радиуса R, лежащему в плоскости, например, плоскости xy. Центр кольца располагается в начале координат, а ток течёт по окружности с постоянной величиной I.
Задача состоит в определении магнитного поля B, создаваемого этим током, в различных точках пространства. Особенно интересен случай оси кольца, которая перпендикулярна плоскости кольца (ось z).
Для анализа используется закон Био–Савара–Лапласа, который в дифференциальной форме выражается как:
$$ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{[\mathbf{dl} \times \mathbf{r}]}{r^3} $$
где:
Рассмотрим точку на оси z, находящуюся на расстоянии z от центра кольца. Симметрия кольца позволяет утверждать, что все горизонтальные (в плоскости кольца) компоненты магнитного поля, создаваемого отдельными участками тока, взаимно компенсируются. Остаётся только вертикальная составляющая поля Bz.
Для каждого элемента dl направления тока на окружности магнитное поле в точке на оси даётся выражением:
$$ dB_z = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{R \, d\phi \cdot z}{(R^2 + z^2)^{3/2}} $$
Интегрируя по всему кольцу (от ϕ = 0 до 2π), получаем:
$$ B_z = \int_0^{2\pi} \frac{\mu_0 I R z}{4\pi (R^2 + z^2)^{3/2}} d\phi = \frac{\mu_0 I R^2}{2 (R^2 + z^2)^{3/2}} $$
Таким образом, магнитное поле на оси кругового тока направлено вдоль оси z и убывает с расстоянием как z → ∞ по закону ∼ 1/z3, что характерно для дипольного поля.
Вектор магнитной индукции B в любой точке пространства можно найти, используя интеграл Био–Савара. Однако вне оси симметрии задача усложняется из-за необходимости учитывать все компоненты вектора r и вектора dl. В этом случае аналитическое выражение становится крайне громоздким, и прибегают либо к численным методам, либо к приближённым аналитическим моделям.
Тем не менее, известно, что на большом удалении магнитное поле кругового тока эквивалентно полю магнитного диполя с магнитным моментом:
m = I ⋅ S
где S — вектор, нормальный к плоскости кольца, величина которого равна площади кольца: S = πR2.
Магнитное поле магнитного диполя в точке r даётся выражением:
$$ \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{3(\mathbf{m} \cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}} - \mathbf{m}}{r^3} \right) $$
Это приближение справедливо для расстояний r ≫ R.
Кольцо с током создаёт магнитное поле, которое может взаимодействовать с другим током или с магнитным моментом. В частности, если во внешнем магнитном поле помещено кольцо с током, оно испытывает момент сил:
N = m × B
а его потенциальная энергия:
U = −m ⋅ B
Эти соотношения аналогичны механике вращающихся тел и электростатике, подчеркивая формальное сходство между электрическим и магнитным диполем.
Магнитное поле кругового тока также можно рассматривать как элементарное звено длинного соленоида. Наблюдается следующее:
Если разместить много витков кругового тока вдоль оси z, образуя соленоид длиной l, то в центре соленоида возникает поле:
B = μ0nI
где n — число витков на единицу длины.
Таким образом, магнитное поле одного кругового тока — это основа понимания более сложных конфигураций магнитных полей, таких как поля соленоидов, тороидов и электромагнитов.
Линии магнитной индукции кругового тока имеют характерную форму: они замыкаются вокруг оси кольца, выходя из центра кольца и возвращаясь снаружи обратно, образуя замкнутые контуры. Вблизи плоскости кольца поле направлено по касательной, за пределами — изгибается, стремясь замкнуться.
Это можно наблюдать экспериментально при помощи железных опилок и рамки с током: частицы выстраиваются вдоль линий магнитной индукции, демонстрируя вихревой характер магнитного поля.
Магнитное поле нескольких круговых токов определяется как векторная сумма полей каждого из них. Это позволяет строить сложные конфигурации — например, гравиметры, магнитные ловушки и устройства с нулевым внешним полем (катушка Гельмгольца).
В частности, если взять две одинаковые катушки, расположенные на расстоянии R (радиус катушки) и пропустить через них токи в одном направлении, то в середине между катушками поле будет максимально однородным. Такое устройство называется катушками Гельмгольца.
В микромасштабах, ток по кругу может реализовываться в виде орбитального движения заряженных частиц — как, например, электроны в атомах. В этом случае возникает квантованный магнитный момент, связанный с угловым моментом. Магнитный момент орбитального движения:
$$ \mathbf{m} = \frac{e}{2m} \mathbf{L} $$
где L — орбитальный момент импульса.
Это демонстрирует фундаментальную связь между круговым током и понятием магнитного момента в атомной физике.
Хотя магнитный диполь (круговой ток) и электрический диполь (две противоположные заряда) обладают некоторыми аналогиями, важно понимать отличия:
Таким образом, поле кругового тока — яркий пример чисто вихревого магнитного поля, не имеющего источников и стоков, в отличие от электрического поля.