Строение и характеристики магнитного поля тороида
Геометрия и токовая конфигурация тороида
Тороид представляет собой замкнутый магнитный контур в виде кольца, выполненного из витков провода, по которым протекает электрический ток. Чаще всего он имеет форму тора — поверхности, полученной вращением окружности вокруг оси, лежащей в её плоскости и не пересекающей её. Это позволяет получить конфигурацию магнитного поля, замкнутую внутри самого тела тороида.
Пусть тороид состоит из N витков провода, каждый из которых несёт ток силой I. Внутренний и внешний радиусы тороида обозначим как R1 и R2, соответственно. Для анализа магнитного поля обычно предполагается, что сечение тора малое по сравнению с его радиусом, и весь ток можно рассматривать как распределённый по окружности среднего радиуса $R \approx \frac{R_1 + R_2}{2}$.
Применение теоремы о циркуляции магнитного поля
Для вычисления магнитного поля внутри тороида удобно использовать теорему о циркуляции вектора магнитной индукции:
∮ΓB⃗ ⋅ dl⃗ = μ0Iпрох
Здесь Γ — замкнутый путь, вдоль которого берётся циркуляция, Iпрох — полный ток, пронизывающий поверхность, натянутую на этот контур, μ0 — магнитная постоянная (μ0 = 4π ⋅ 10−7 Гн/м).
Рассмотрим окружность радиуса r, лежащую в плоскости тора и проходящую внутри тела тороида. Если R1 < r < R2, то такая окружность охватывает все витки, и суммарный ток, проходящий через её площадь, равен:
Iпрох = NI
Поскольку симметрия задачи указывает на то, что магнитная индукция B⃗ везде направлена по касательной к окружности и имеет постоянную величину на этом контуре, то левая часть уравнения принимает вид:
∮ΓB⃗ ⋅ dl⃗ = B∮Γdl = B ⋅ 2πr
Подставляя в теорему, получаем:
B ⋅ 2πr = μ0NI
Отсюда:
$$ B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r} $$
Это выражение определяет магнитную индукцию внутри тороида на расстоянии r от центра тора.
Особенности распределения магнитного поля
Внутри тороида магнитное поле существует и направлено по касательной к окружностям, соосным с тором. Оно является аксиально-симметричным и замкнуто внутри тела тороида. Направление определяется правилом правой руки: если обхватить тороид правой рукой так, чтобы пальцы указывали направление тока в обмотке, то большой палец покажет направление магнитной индукции.
Вне тороида магнитное поле в идеальном случае (при замкнутой тороидальной геометрии) отсутствует. Это объясняется тем, что токи создают замкнутые магнитные линии внутри тора, не выходящие наружу. Доказательство следует из теоремы о циркуляции: если контур интегрирования не охватывает витки, то Iпрох = 0, и, соответственно, B⃗ = 0.
Магнитное поле в центре сечения тороида
Если поперечное сечение тороида имеет форму круга или прямоугольника и его размеры малы по сравнению с радиусом тора, то магнитное поле внутри сечения можно считать однородным. В этом приближении магнитная индукция на среднем радиусе R даётся формулой:
$$ B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi R} $$
Это приближение удобно для практических расчётов.
Энергия магнитного поля тороида
Энергия, запасённая в магнитном поле тороида, может быть вычислена по формуле:
$$ W = \frac{1}{2} L I^2 $$
где L — индуктивность тороида. Для однородного тороида с числом витков N, площадью поперечного сечения S и средним радиусом R, индуктивность выражается как:
$$ L = \frac{\mu_0 N^2 S}{2\pi R} $$
Таким образом, полная энергия магнитного поля тороида:
$$ W = \frac{1}{2} \cdot \frac{\mu_0 N^2 S}{2\pi R} \cdot I^2 $$
Влияние магнитной проницаемости сердечника
Если витки тороида намотаны на ферромагнитный сердечник с магнитной проницаемостью μ, то магнитная индукция увеличивается в μ раз:
$$ B = \frac{\mu \mu_0 N I}{2\pi r} $$
А индуктивность возрастает пропорционально:
$$ L = \frac{\mu \mu_0 N^2 S}{2\pi R} $$
Это используется в трансформаторах и дросселях, где ферромагнитные сердечники позволяют существенно усилить магнитное поле и уменьшить габариты устройства при сохранении той же индуктивности.
Сравнение с соленоидом
Тороид можно рассматривать как соленоид, изогнутый в кольцо. Основное различие заключается в том, что в тороиде отсутствует магнитное поле снаружи, тогда как у соленоида оно имеется. Вследствие этого тороид более компактен и не создаёт помех во внешнем пространстве, что делает его особенно полезным в радиотехнике, электронике и электротехнике.
Применения тороидальных катушек
Тороиды широко применяются в различных устройствах:
Замкнутая структура магнитного поля, минимальные потери на рассеяние и высокая эффективность делают тороидальные катушки незаменимыми в современной электротехнической аппаратуре.