Материальные уравнения

Понятие и назначение материальных уравнений

Материальные уравнения (или уравнения состояния среды в электродинамике) устанавливают связь между векторами напряженности полей и векторами плотности индукции в веществе. Эти уравнения необходимы для замыкания системы уравнений Максвелла, поскольку сами по себе уравнения Максвелла не определяют, как поля взаимодействуют с веществом.

В общем случае материальные уравнения связывают:

• электрическую индукцию D с напряжённостью электрического поля E;
• магнитную индукцию B с напряжённостью магнитного поля H;
• плотность тока J с напряжённостью электрического поля E в проводниках.

Общие формы материальных уравнений

В самом общем виде материальные уравнения записываются как функциональные зависимости:

$$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}, \quad \mathbf{H} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{B} - \mathbf{M}, $$

где:

• P — вектор поляризации (характеризует распределение электрических дипольных моментов в веществе),
• M — вектор намагниченности (характеризует распределение магнитных моментов),
• ε₀ и μ₀ — диэлектрическая и магнитная постоянные вакуума.

Однако для конкретных типов веществ и условий внешних полей эти зависимости упрощаются.

Линейные изотропные среды

Для наиболее простых случаев — линейных, однородных и изотропных сред — материальные уравнения принимают линейный характер:

D = εE,  B = μH,

где:

• ε = ε₀ε_r — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды,
• μ = μ₀μ_r — абсолютная магнитная проницаемость среды,
• ε_r, μ_r — относительные проницаемости.

Такие приближения справедливы, если поле невелико, не зависит от времени (или изменяется медленно), и в веществе отсутствует гистерезис или насыщение.

Анизотропные среды

В анизотропных материалах, таких как кристаллы, поляризация и намагниченность не направлены строго вдоль внешнего поля. В этом случае используются тензорные проницаемости:

D_i = ∑_jε_ijE_j,  B_i = ∑_jμ_ijH_j,

где ε_ij и μ_ij — компоненты тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости соответственно.

Нелинейные среды

Если поле велико, отклик среды может быть нелинейным. Тогда зависимость между D и E, а также между B и H уже не линейна:

D = ε₀(E + χ⁽¹⁾E + χ⁽²⁾E² + χ⁽³⁾E³ + …),

где χ⁽ⁿ⁾ — нелинейные восприимчивости порядка n. Такие уравнения описывают, например, процессы генерации второй гармоники, самоиндуцированной прозрачности и др. в нелинейной оптике.

Дисперсионные свойства среды

В реальных средах отклик вещества на внешние поля не происходит мгновенно. Это означает, что поля D и B зависят не только от текущих значений E и H, но и от их предшествующих значений. Такое поведение называется дисперсией:

D(t) = ε₀∫_−∞^tε(t − t′)E(t′)dt′,

где ε(t − t′) — функция отклика среды, описывающая, как прошлые значения поля влияют на текущее состояние индукции. В частотной области это соответствует зависимости ε(ω), т.е. диэлектрическая проницаемость становится функцией частоты.

Комплексные проницаемости

При наличии потерь в среде (например, за счёт теплового движения заряженных частиц) ε и μ становятся комплексными величинами:

ε = ε′ − iε″,  μ = μ′ − iμ″,

где:

• ε′, μ′ — определяют дисперсионные свойства,
• ε″, μ″ — характеризуют поглощение (потери энергии поля).

Комплексный характер приводит к фазовому сдвигу между полем и индуцированной индукцией.

Поляризация и намагниченность

В линейной среде поляризация и намагниченность связаны с напряжённостями внешних полей:

P = ε₀χ_eE,  M = χ_mH,

где χ_e и χ_m — электрическая и магнитная восприимчивости. Тогда:

ε = ε₀(1 + χ_e),  μ = μ₀(1 + χ_m).

Для парамагнетиков и диамагнетиков χ_m обычно мала, тогда как для ферромагнетиков возможны большие значения восприимчивости и нелинейность зависимости.

Проводящие среды

Для проводников, кроме диэлектрического отклика, важно учитывать ток проводимости, который описывается законом Ома в дифференциальной форме:

J = σE,

где σ — удельная электропроводность среды. В более сложных случаях возможны:

• тензорная проводимость: J_i = ∑_jσ_ijE_j,
• зависимость σ от температуры и частоты.

В переменных полях ток проводимости также участвует в генерации магнитных полей, а при высокой частоте — вызывает эффект скин-слоя.

Сложные среды и эффекты

В реальных физических системах могут одновременно проявляться:

• анизотропия;
• нелинейность;
• временная дисперсия;
• пространственная дисперсия (например, в плазме: D(r, t) зависит от E(r′, t′));
• гистерезис (в ферромагнетиках и сегнетоэлектриках);
• насыщение отклика.

Такие случаи требуют использования интегральных уравнений или уравнений с памятью, а также экспериментального определения характеристик среды.

Материальные уравнения в частотной области

Для периодических процессов удобно переходить к представлению во временной области с использованием комплексных амплитуд:

D(ω) = ε(ω)E(ω),  B(ω) = μ(ω)H(ω),  J(ω) = σ(ω)E(ω).

Здесь все величины — функции частоты, а уравнения Максвелла и материальные уравнения решаются алгебраически, а не дифференциально. Это особенно эффективно в теории распространения волн и в оптике.

Формализм векторных операторов и средний ток смещения

Для описания сред с временной дисперсией и сложной геометрией удобно использовать операторные или свёрточные формы записи:

D = ε̂E,  B = μ̂H,  J = σ̂E.

Здесь ε̂, μ̂, σ̂ — операторы, действующие на поле, включающие производные, интегралы или свёртки.

Также следует различать полный ток:

$$ \mathbf{J}_{\text{полн}} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}, $$

где $\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ — ток смещения. Это особенно важно для выполнения закона сохранения заряда в переменных полях.

Роль материальных уравнений в задачах электродинамики

Материальные уравнения определяют, как конкретное вещество реагирует на приложенное поле. Они:

• замыкают уравнения Максвелла,
• определяют распространение волн в среде (скорость, затухание, рефракцию),
• участвуют в расчётах токов, напряжений, плотностей энергии и мощностей,
• служат основой для моделей резонаторов, антенн, волноводов и т.п.

Без знания этих уравнений невозможно ни моделирование физических процессов, ни практическое применение электромагнетизма.