Мощность излучения точечного заряда
Рассмотрим точечный заряд q, движущийся с ускорением. Согласно классической электродинамике, ускоренно движущийся заряд излучает электромагнитную волну, уносящую энергию. Количественно мощность излучения определяется формулой Лармора:
$$ P = \frac{q^2 a^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} $$
где — P — полная мощность излучения, — q — заряд, — a — ускорение заряда, — ε0 — электрическая постоянная, — c — скорость света в вакууме.
Эта формула справедлива для случая, когда скорость заряда много меньше скорости света (v ≪ c) — в нерелятивистском приближении. В релятивистском случае выражение существенно усложняется и учитывает эффект лоренцевского сокращения и изменение распределения поля в пространстве.
Формула Лармора и ее физический смысл
Формула Лармора показывает, что мощность излучения прямо пропорциональна квадрату ускорения заряда. Это означает, что постоянное движение с постоянной скоростью (равномерное поступательное движение) не приводит к излучению — излучение появляется только при наличии ускорения. Это согласуется с принципом инерции и экспериментальными наблюдениями.
Заметим, что формула не зависит от направления ускорения — только от его модуля. Таким образом, мощность излучения одинакова для ускорения и замедления одного и того же заряда.
Угловое распределение излучения
Хотя формула Лармора описывает полную мощность, излучение распространяется неравномерно в пространстве. Для анализа пространственного распределения вводится плотность потока энергии, или вектор Пойнтинга:
$$ \vec{S} = \frac{1}{\mu_0} \vec{E} \times \vec{B} $$
В случае ускоренного движения поля E⃗ и B⃗ имеют характерный излучательный компонент, убывающий как 1/r. В результате поток энергии через сферу радиуса r постоянен и определяет мощность излучения.
Плотность мощности, излучаемая в единичном телесном угле dΩ, определяется как:
$$ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{\mu_0 q^2 a^2 \sin^2 \theta}{16\pi^2 c} $$
где θ — угол между направлением ускорения и направлением наблюдения. Эта формула демонстрирует, что излучение отсутствует в направлении ускорения (θ = 0) и максимально в плоскости, перпендикулярной ускорению (θ = π/2).
Излучение при гармоническом движении
Пусть заряд совершает гармонические колебания с угловой частотой ω:
x(t) = x0cos (ωt) ⇒ a(t) = −ω2x0cos (ωt)
Тогда средняя по времени мощность излучения будет:
$$ \langle P \rangle = \frac{q^2 \omega^4 x_0^2}{12\pi \varepsilon_0 c^3} $$
где x0 — амплитуда колебаний. Это выражение особенно важно в задачах антенн, излучения атомов и диполей.
Излучение диполя
Важным частным случаем является электрический дипольный источник. Пусть в системе создается колеблющийся дипольный момент:
p⃗(t) = p⃗0cos (ωt)
Мощность излучения такого диполя:
$$ \langle P \rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c} $$
Это фундаментальная формула, применимая к антеннам, молекулам и переходам в атомной физике. Она демонстрирует ключевую зависимость мощности от четвёртой степени частоты.
Релятивистская коррекция: формула Лиенара
Для случая произвольного (в том числе релятивистского) движения формула Лармора обобщается до формы Лиенара:
$$ P = \frac{q^2}{6\pi \varepsilon_0 c} \gamma^6 \left[ \left( \frac{d\vec{v}}{dt} \right)^2 - \frac{1}{c^2} \left( \vec{v} \times \frac{d\vec{v}}{dt} \right)^2 \right] $$
где — v⃗ — скорость заряда, — $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ — релятивистский множитель.
В релятивистской области мощность излучения растёт гораздо быстрее с увеличением скорости, особенно при поперечном ускорении (например, при круговом движении). Это лежит в основе работы синхротронов и ускорителей.
Циркулярное движение и синхротронное излучение
Если заряд движется по окружности, то ускорение направлено к центру. В этом случае, особенно в релятивистском пределе, возникает синхротронное излучение. Мощность такого излучения:
$$ P = \frac{q^2 a^2 \gamma^4}{6\pi \varepsilon_0 c^3} $$
где $a = \frac{v^2}{R}$, с R — радиус траектории. Увеличение γ приводит к резкому росту потерь энергии на излучение, что ограничивает использование ускорителей с круговой геометрией для лёгких частиц (например, электронов).
Закон сохранения энергии и убывание энергии излучающего заряда
Излучение электромагнитной энергии сопровождается убыванием энергии самого заряда. В рамках классической теории это приводит к необходимости учёта “реакции излучения” — силы, действующей на заряд со стороны собственного поля. Эта сила описывается уравнением Абрахам–Лоренца:
$$ \vec{F}_{\text{реак}} = \frac{q^2}{6\pi \varepsilon_0 c^3} \frac{d^3 \vec{r}}{dt^3} $$
Однако это уравнение приводит к ряду парадоксов (например, предвосхищение движения) и требует квантово-электродинамического подхода для корректного описания микромира.
Излучение в среде
Если ускоряющийся заряд находится в материальной среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ, то в формулы входят эти параметры. Эффективная скорость света в среде становится $v = c/\sqrt{\varepsilon \mu}$, и это влияет как на форму излучения, так и на его мощность.
В случае движения заряда со скоростью, превышающей фазовую скорость света в среде, возникает эффект Черенкова — излучение, возникающее без ускорения, но при нарушении причинности в локальной системе отсчета среды. Мощность черенковского излучения зависит от характеристик среды и угла распространения волн.
Роль мощности излучения в физических системах
Мощность излучения лежит в основе множества физических явлений:
В теоретической физике мощность излучения позволяет строить модели взаимодействий, анализировать устойчивость орбит (например, в модели атома Бора) и устанавливать границы применимости классической электродинамики.
Частотная структура и спектр излучения
Излучение ускоренного заряда имеет определённый спектр. Для периодических движений (например, колебаний) спектр состоит из дискретных линий, тогда как при непериодических движениях (ускорение в одном импульсе) спектр непрерывен. Мощность на единицу частоты (спектральная плотность) является важным параметром в радиофизике и спектроскопии. Она рассчитывается через преобразование Фурье временного профиля поля.
Обобщённый вывод: зависимость от характера движения
Итак, мощность излучения зависит от:
Таким образом, вычисление и анализ мощности излучения — один из ключевых инструментов в электродинамике, как при теоретическом моделировании, так и при инженерных применениях.