Катушка индуктивности, представляющая собой проводник, свернутый в спираль, обладает индуктивностью L, то есть способностью накапливать энергию в магнитном поле при протекании тока. При подключении катушки к цепи переменного тока (AC), её поведение значительно отличается от поведения в цепи постоянного тока.
В переменном токе, когда сила тока непрерывно меняется со временем, магнитное поле вокруг катушки также изменяется. Это изменение индуцирует ЭДС самоиндукции, направленную против изменения тока. Следовательно, катушка индуктивности всегда сопротивляется изменению тока, но не сопротивляется его наличию, как это делает, например, резистор.
Если на катушку действует синусоидальное напряжение:
U(t) = U0sin (ωt),
где:
то в цепи возникает ток, отстающий по фазе от напряжения.
Используя закон индукции Фарадея, ЭДС самоиндукции в катушке равна:
$$ \mathcal{E}_L = -L \frac{dI}{dt}. $$
По второму закону Кирхгофа (в отсутствии активных сопротивлений и других элементов):
$$ U(t) = L \frac{dI}{dt}. $$
Подставляя синусоидальное напряжение:
$$ U_0 \sin(\omega t) = L \frac{dI}{dt}, $$
откуда:
$$ \frac{dI}{dt} = \frac{U_0}{L} \sin(\omega t), $$
интегрируя:
$$ I(t) = -\frac{U_0}{\omega L} \cos(\omega t) = \frac{U_0}{\omega L} \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right). $$
Вывод: ток отстаёт по фазе от напряжения на $\frac{\pi}{2}$ (или 90°).
Аналогом сопротивления в цепи с катушкой является индуктивное сопротивление:
XL = ωL = 2πfL.
Оно выражает степень сопротивления, которую катушка оказывает переменному току. Чем выше частота или индуктивность, тем выше сопротивление катушки.
Аналог закона Ома в цепи с индуктивностью:
$$ I_0 = \frac{U_0}{X_L}. $$
Мгновенное напряжение:
U(t) = U0sin (ωt),
мгновенный ток:
$$ I(t) = I_0 \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right). $$
Среднеквадратичные (эффективные) значения:
$$ U_{\text{д}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}}, \quad I_{\text{д}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}. $$
Для эффективного напряжения и тока справедливо:
$$ I_{\text{д}} = \frac{U_{\text{д}}}{X_L}. $$
Для визуализации фазовых соотношений в цепи с индуктивностью удобно использовать векторную диаграмму (или диаграмму вращающихся векторов). В этой диаграмме вектор напряжения U⃗ располагается на оси отсчёта, а вектор тока I⃗ отстаёт от него на угол $\frac{\pi}{2}$, что демонстрирует запаздывание тока по фазе.
Мгновенная мощность:
$$ P(t) = U(t) \cdot I(t) = U_0 \sin(\omega t) \cdot I_0 \sin\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right). $$
Используем формулу:
$$ \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha) \cdot (-\cos(\alpha)) = -\frac{1}{2} \sin(2\alpha), $$
тогда:
$$ P(t) = -\frac{U_0 I_0}{2} \sin(2\omega t). $$
Средняя мощность за период:
$$ \overline{P} = 0. $$
Это означает, что в чисто индуктивной цепи средняя мощность равна нулю: энергия не расходуется, а возвращается обратно в источник. Энергия в катушке периодически накапливается в магнитном поле и возвращается в сеть.
В каждый момент времени, когда ток возрастает, катушка накапливает энергию в магнитном поле. Энергия, запасённая в катушке:
$$ W = \frac{1}{2} L I^2. $$
Эта энергия достигает максимума, когда ток максимален, и уменьшается до нуля, когда ток становится нулевым. Процесс повторяется с периодичностью переменного тока.
В реальной цепи катушка всегда обладает сопротивлением обмотки R. В этом случае цепь описывается как R-L-цепь, и фаза между током и напряжением составляет угол φ, где:
$$ \tan \varphi = \frac{X_L}{R}. $$
Ток отстаёт по фазе, но уже не на 90°, а на угол $\varphi \in (0; \frac{\pi}{2})$.
Полное сопротивление цепи:
$$ Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}. $$
Закон Ома в комплексной форме:
$$ \vec{I} = \frac{\vec{U}}{Z} \angle(-\varphi). $$
Катушка индуктивности в сочетании с конденсатором может образовывать колебательный контур, в котором возникают резонансные токи. При резонансе XL = XC, и реактивные сопротивления компенсируют друг друга, обеспечивая максимальный ток в цепи.
Это свойство активно используется в радиотехнике, колебательных и фильтрующих цепях.