Переменным током (ПТ) называют электрический ток, величина и направление которого периодически изменяются во времени. Наиболее распространённой формой ПТ является синусоидальный ток, описываемый функцией:
I(t) = I0sin (ωt + φ)
где:
Аналогично определяется напряжение:
U(t) = U0sin (ωt + φ)
Для резистора в цепи переменного тока действует закон Ома в той же форме, что и для постоянного тока:
U(t) = R ⋅ I(t)
При прохождении синусоидального переменного тока через идеальный резистор напряжение и ток изменяются в фазе. Это означает, что максимумы и нули напряжения и тока совпадают во времени:
$$ I(t) = \frac{U_0}{R} \sin(\omega t + \varphi) = I_0 \sin(\omega t + \varphi) $$
Следовательно, фазовый сдвиг между током и напряжением:
Δφ = 0
На векторной диаграмме ток и напряжение представляют собой два сонаправленных вектора одинаковой частоты, вращающихся в плоскости.
Так как мгновенные значения переменного тока и напряжения непрерывно изменяются, в расчетах используют среднеквадратичные (действующие) значения:
$$ I_{\text{д}} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}, \quad U_{\text{д}} = \frac{U_0}{\sqrt{2}} $$
Тогда средняя (действующая) мощность, потребляемая резистором:
$$ P = U_{\text{д}} I_{\text{д}} = \frac{U_0 I_0}{2} = I_{\text{д}}^2 R $$
Таким образом, в цепи с чисто активной нагрузкой (только резистор) вся энергия тока превращается в тепло, как и в цепи постоянного тока.
На графиках I(t) и U(t) — синусоиды с одинаковой частотой и фазой. Амплитуда тока зависит от амплитуды напряжения и сопротивления:
$$ I_0 = \frac{U_0}{R} $$
График мощности:
$$ P(t) = U(t) \cdot I(t) = U_0 I_0 \sin^2(\omega t + \varphi) = \frac{U_0 I_0}{2} \left(1 - \cos(2\omega t + 2\varphi)\right) $$
Таким образом, мгновенная мощность — не синусоида, а пульсирующая функция с частотой в два раза большей, чем у тока и напряжения. Но её среднее значение остаётся постоянным и положительным:
$$ \langle P(t) \rangle = \frac{U_0 I_0}{2} = I_{\text{д}}^2 R $$
Если форма тока или напряжения отличается от синусоидальной (например, прямоугольные или пилообразные сигналы), то в цепи с резистором каждое гармоническое составляющее рассматривается отдельно. Резистор пропускает все частоты без изменения фазы, но с амплитудой, обратно пропорциональной сопротивлению:
Un = R ⋅ In
Это делает резистор частотно-независимым элементом, в отличие от катушки индуктивности и конденсатора.
Так как фазовый сдвиг отсутствует, косинус угла между током и напряжением cos φ = 1. Следовательно, активная мощность:
P = UдIдcos φ = UдIд
Полная мощность:
S = UдIд
Реактивная мощность отсутствует:
Q = UдIдsin φ = 0
Таким образом, вся потребляемая энергия в цепи с резистором преобразуется в активную мощность, то есть в тепло.
Работа, совершаемая током за полный период:
A = ∫0TP(t) dt = P ⋅ T = Iд2R ⋅ T
Поскольку сопротивление не накапливает энергию (в отличие от катушки и конденсатора), энергия не возвращается обратно в цепь — она полностью диссипируется в виде тепла по закону Джоуля—Ленца:
Q = Iд2R ⋅ t
Для резистора частота переменного тока не оказывает влияния на характер работы цепи:
Реальные проводники при высоких частотах могут демонстрировать паразитные индуктивности и ёмкости, но в рамках идеальной модели чистого резистора они не учитываются.
В комплексной форме представления переменного тока резистор характеризуется комплексным сопротивлением (импедансом):
Z = R + i0 = R
Так как мнимая часть импеданса нулевая, резистор не оказывает индуктивного или ёмкостного сопротивления, и угол сдвига фаз равен нулю. Комплексная мощность:
S = UдIд* = P + iQ = P
Пусть в цепи на резисторе R = 50 Ω действует синусоидальное напряжение с амплитудой U0 = 100 В.
Амплитуда тока:
$$ I_0 = \frac{U_0}{R} = \frac{100}{50} = 2 \ \text{А} $$
Действующее значение тока:
$$ I_{\text{д}} = \frac{2}{\sqrt{2}} \approx 1{,}41 \ \text{А} $$
Действующее значение напряжения:
$$ U_{\text{д}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \approx 70{,}7 \ \text{В} $$
Активная мощность:
P = UдIд ≈ 70, 7 ⋅ 1, 41 ≈ 100 Вт
Этот пример демонстрирует полное совпадение мгновенных и действующих значений, характерное для резистивной нагрузки в цепи переменного тока.