Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны в однородной, изотропной и линейной среде, в частности — в вакууме. Волна называется плоской, если поверхности постоянной фазы (волновые фронты) представляют собой плоскости, а векторы электрического и магнитного полей во всех точках фронта одинаковы по величине и направлению.
Для волны, распространяющейся вдоль оси z, электрическое поле E направлено вдоль оси x, а магнитное поле B — вдоль оси y. Это конфигурация плоской линейно поляризованной волны, удовлетворяющей уравнениям Максвелла в вакууме:
$$ \begin{aligned} &\nabla \cdot \mathbf{E} = 0, \\ &\nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \\ &\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\ &\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. \end{aligned} $$
Подставляя форму поля, соответствующую волне, можно показать, что компоненты Ex и By удовлетворяют волновому уравнению:
$$ \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}, \quad \frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}. $$
Общее решение уравнений представляет собой бегущую волну:
$$ \begin{aligned} E_x(z, t) &= E_0 \cos(kz - \omega t + \varphi_E), \\ B_y(z, t) &= B_0 \cos(kz - \omega t + \varphi_B), \end{aligned} $$
где $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ — волновое число, ω = 2πf — круговая частота, а λ — длина волны.
Из уравнений Максвелла следует:
$$ \frac{E_0}{B_0} = c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. $$
Таким образом:
$$ B_y(z, t) = \frac{E_0}{c} \cos(kz - \omega t + \varphi_E), $$
если фаза у E и B совпадает.
Энергия в электромагнитной волне хранится одновременно в электрическом и магнитном полях. Плотность полной энергии:
$$ u = u_E + u_B = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}. $$
Используя $B = \frac{E}{c}$, получаем:
u = ε0E2.
Средняя плотность энергии (усреднение по периоду T):
$$ \langle u \rangle = \varepsilon_0 \langle E^2 \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E_0^2. $$
Энергия переносится волной. Вектор Пойнтинга S, описывающий поток энергии:
$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B}. $$
Для плоской волны, бегущей вдоль z:
$$ S = \frac{1}{\mu_0} E B = \frac{E^2}{\mu_0 c} = \varepsilon_0 c E^2. $$
Средняя плотность потока энергии:
$$ \langle S \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon_0 c E_0^2. $$
Вектор волнового вектора k определяет направление распространения. Электрическое поле может колебаться:
Для круговой поляризации:
$$ \mathbf{E}(z,t) = E_0 \left[\hat{\mathbf{x}} \cos(kz - \omega t) + \hat{\mathbf{y}} \sin(kz - \omega t)\right]. $$
Магнитное поле в этом случае:
$$ \mathbf{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \left[\hat{\mathbf{y}} \cos(kz - \omega t) - \hat{\mathbf{x}} \sin(kz - \omega t)\right]. $$
В этом случае конец вектора E описывает окружность в плоскости xOy при движении волны вдоль z.
Если плоская волна распространяется в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ, то:
$$ v = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon \mu}}. $$
$$ \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = \varepsilon \mu \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}. $$
$$ \frac{E_0}{B_0} = v. $$
$$ \langle S \rangle = \frac{1}{2} \varepsilon v E_0^2. $$
В диэлектриках и проводниках возможны также затухающие волны, в которых амплитуда убывает экспоненциально с расстоянием, особенно в случае комплексных значений ε и μ.
Волновое сопротивление среды (характерное сопротивление):
$$ Z = \frac{E}{H} = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}. $$
Для вакуума:
$$ Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \approx 377\,\Omega. $$
Импеданс важен при рассмотрении отражения и прохождения волн на границе двух сред: чем больше различие импедансов, тем выше отражение.
При переходе волны из одной среды в другую с различными ε и μ, происходят:
Коэффициенты отражения и прохождения зависят от угла падения, поляризации волны и относительных значений ε, μ. Примеры:
$$ \frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} = \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_2 \mu_2}{\varepsilon_1 \mu_1}}. $$
Плоская электромагнитная волна переносит импульс. При падении на поверхность, часть импульса передаётся веществу, вызывая световое давление. Давление:
Это явление используется в лазерной физике, астрофизике и экспериментальной оптике.
При наложении нескольких плоских волн возможны:
Интерференция двух плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой приводит к пространственному распределению интенсивности в виде стоячих волн или полос.
Плоская волна является предельным случаем волны, фронт которой — плоскость. В реальных условиях волны, например от антенн, приближаются к плоским лишь на больших расстояниях от источника. Тогда возможна аппроксимация:
ψ(r, t) ≈ Acos (k ⋅ r − ωt),
где k ⋅ r — скалярное произведение, определяющее фазу волны.
Плоские волны удобны для теоретического анализа, а также широко используются при расчётах распространения волн, дифракции и в уравнениях распространения волн в оптике и радиофизике.