Полное внутреннее отражение наблюдается в случае, когда электромагнитная волна переходит из оптически более плотной среды (с большим показателем преломления) в оптически менее плотную (с меньшим показателем преломления), и угол падения превышает некоторый критический угол. При этом вся энергия волны отражается обратно в первую среду, и вторая среда не пропускает волну в глубину — преломлённая волна отсутствует.
Пусть волна падает из среды с показателем преломления n1 в среду с меньшим показателем n2, где n1 > n2. Закон Снеллиуса описывает соотношение углов падения и преломления:
n1sin θi = n2sin θt
где θi — угол падения, θt — угол преломления. Когда θi достигает значения, при котором sin θt = 1, угол преломления становится 90∘, и преломлённая волна скользит вдоль границы. Это соответствует критическому углу θc:
$$ \theta_c = \arcsin\left( \frac{n_2}{n_1} \right) $$
Если θi > θc, тогда sin θt > 1, что невозможно — значит, преломлённая волна исчезает, и происходит полное внутреннее отражение.
Хотя преломлённая волна не распространяется вглубь второй среды, электромагнитное поле не исчезает сразу на границе. Вторая среда содержит затухающую (или туннелирующую) волну — экспоненциально затухающую в направлении, перпендикулярном поверхности. Это волна еванесцентного типа, не переносящая энергию в глубину, но способная влиять на физические процессы у самой границы.
Предположим, что граница между средами плоская и лежит в плоскости z = 0, а волна падает из среды z < 0. Волна во второй среде при z > 0 имеет вид:
Et ∝ ei(kxx − ωt)e−κz
где κ — коэффициент затухания, определяемый как:
$$ \kappa = k_1 \sqrt{\sin^2 \theta_i - \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^2} $$
Это выражение справедливо только при θi > θc. Энергия этой волны не распространяется вдоль z, но поля присутствуют и убывают экспоненциально вглубь.
Полное внутреннее отражение не означает, что коэффициент отражения просто равен единице без всякой фазы. Напротив, волна, отражённая от границы, приобретает фазовый сдвиг, зависящий от поляризации и угла падения.
В случае TE (s-поляризация, электрическое поле перпендикулярно плоскости падения) и TM (p-поляризация, электрическое поле в плоскости падения), коэффициенты отражения принимают вид:
$$ r_\text{TE} = \frac{\cos \theta_i - i \gamma}{\cos \theta_i + i \gamma}, \quad r_\text{TM} = \frac{n^2 \cos \theta_i - i \gamma}{n^2 \cos \theta_i + i \gamma} $$
где $\gamma = \sqrt{\sin^2 \theta_i - n^2}$, а $n = \frac{n_2}{n_1}$. Модуль этих коэффициентов равен 1, но аргумент не нулевой: волна полностью отражается с фазовым сдвигом.
Фазовый сдвиг имеет критическое значение, например, при интерференции, в конструкции интерферометров, волноводов и датчиков.
Полное внутреннее отражение широко применяется в современной технике:
Оптоволокно: Свет внутри волокна многократно отражается от стенок за счёт полного внутреннего отражения, если угол распространения достаточно велик. Это обеспечивает передачу сигналов с минимальными потерями на десятки и сотни километров.
Призмы ТИР (TIR prisms): Призмы, основанные на эффекте полного внутреннего отражения, используются для отклонения или поворота световых лучей на 90° или 180°, обеспечивая очень высокое качество отражения, превосходящее зеркальные поверхности.
Микроскопия ближнего поля и сенсоры на еванесцентной волне: Затухающая волна используется для исследования объектов, расположенных очень близко к границе — например, в сенсорах на поверхности, резонансах плазмонов и других нанофотонных устройствах.
В рамках геометрической оптики полное внутреннее отражение объясняется невозможностью продолжения луча в оптически более разреженную среду под углом, превышающим 90∘. Но полное описание требует волновой теории: волна не просто исчезает, она порождает еванесцентное поле в соседней среде.
Этот факт критичен при анализе физических явлений, таких как:
туннелирование света: при очень близком размещении двух сред с высоким показателем преломления, разделённых слоем воздуха, возможна передача света через тонкую воздушную прослойку — аналог оптического туннелирования.
взаимодействие с поверхностными волнами: еванесцентные поля могут возбуждать поверхностные плазмоны или другие колебания, локализованные на границе.
Полные решения уравнений Максвелла при наличии границы включают наложение условий непрерывности для касательных компонент электрического и магнитного полей. Эти условия позволяют точно определить отражённую и еванесцентную волны, а также фазовые соотношения между ними.
Касательные компоненты полей на границе:
$$ \begin{cases} E_{1\tau} = E_{2\tau} \\ H_{1\tau} = H_{2\tau} \end{cases} $$
Эти условия применяются к волнам комплексного вида и приводят к тем же коэффициентам отражения и затухания.
Особенно важно отметить, что несмотря на полное отражение, плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) во второй среде вдоль направления z равна нулю, но может иметь компоненты вдоль границы. Это значит, что хотя энергия не уходит вдаль, она может циркулировать вдоль границы, что важно при анализе волноводных структур.
Формально, еванесцентная волна подчиняется тому же типу уравнений, что и волна де Бройля в потенциальном барьере. Это позволяет использовать оптические аналогии для объяснения квантовых эффектов, таких как туннелирование частиц сквозь потенциальные барьеры, резонансное проникновение, и эффект Жозефсона.
Таким образом, полное внутреннее отражение — это не просто граница, где волна «отскакивает», а сложное явление с глубокой физической структурой, включающей:
Понимание этого явления является ключевым для анализа современных фотонных устройств, интерференционной оптики и микроволновых систем.