Рассмотрим поведение электростатического поля внутри проводника, содержащего замкнутую полость. Данный вопрос имеет фундаментальное значение при анализе экранирующих свойств проводников и лежит в основе множества практических приложений — от работы Фарадеевой клетки до защиты электронной аппаратуры от внешних электромагнитных возмущений.
Предположим, что проводник находится в электростатическом равновесии, содержит пустую замкнутую полость и не содержит внутри этой полости никаких зарядов. Важно подчеркнуть, что система находится в электростатическом равновесии, то есть все заряды в проводнике неподвижны, а электрическое поле во всех точках проводника равно нулю.
В этих условиях в пределах полости также не существует электрического поля, то есть:
E⃗внутри полости = 0.
Этот результат является следствием принципа суперпозиции и закона Гаусса. В отсутствие свободных зарядов внутри полости, и поскольку проводник окружает её со всех сторон, любые заряды, распределённые по поверхности проводника или находящиеся снаружи, не могут создавать внутри полости результирующего поля.
Этот феномен лежит в основе электростатического экранирования. Всякая полость в проводнике, не содержащая зарядов, экранируется от влияния внешних электростатических полей.
Если внутри полости помещён точечный заряд q, поведение системы кардинально меняется. Поскольку поле от заряда q не может проникать в тело проводника (в силу того, что внутри проводника поле должно быть нулевым), на внутренней поверхности полости возникает индуцированный заряд −q, который точно компенсирует воздействие поля q на проводник:
qиндуц = −q.
Этот индуцированный заряд распределяется по внутренней поверхности полости таким образом, чтобы обеспечить нулевое электрическое поле во всём объёме проводника. В результате суммарный поток вектора напряжённости через любую замкнутую поверхность, расположенную в толще проводника, остаётся нулевым.
Для восстановления электрического равновесия система должна сохранить электрическую нейтральность. Следовательно, если общий заряд проводника был изначально нулевым, то на внешней поверхности проводника появится индуцированный заряд +q, компенсирующий отрицательный заряд, появившийся на внутренней поверхности:
qвнешняя поверхность = +q.
Таким образом, происходит перераспределение зарядов: внутренняя поверхность полости принимает заряд −q, а внешняя — заряд +q. Это внутреннее перераспределение никак не влияет на поле вне проводника — снаружи оно такое же, как если бы заряд q находился на поверхности проводника.
Применяя закон Гаусса к поверхности, расположенной внутри проводника, но вне полости (то есть охватывающей полость, но находящейся полностью в толще проводника), получаем:
$$ \oint\limits_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{\text{внутри}}}{\varepsilon_0} = 0. $$
Это равенство выполняется, так как электрическое поле внутри проводника всегда равно нулю. Следовательно, сумма всех зарядов внутри гауссовой поверхности должна быть равна нулю. Если в полости находится заряд q, то на внутренней поверхности индуцируется заряд −q, в точном соответствии с уравнением.
В случае, если в проводнике находятся несколько полостей с разными зарядами внутри, каждая из них будет вести себя независимо от других. Если в первой полости находится заряд q1, а во второй — заряд q2, то:
Это объясняется независимостью каждого участка проводника в рамках электростатического равновесия и применением закона сохранения заряда.
Поскольку электрическое поле внутри полости (в отсутствие внутренних зарядов) равно нулю, потенциал в каждой точке полости остаётся постоянным:
φвнутри = const.
Этот потенциал совпадает с потенциалом внутренней поверхности проводника, образующей полость. Однако, если внутри полости находится заряд, электрическое поле уже не будет равным нулю, и потенциал станет функцией положения. В этом случае можно решать уравнение Пуассона:
$$ \nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}, $$
где ρ — объёмная плотность заряда внутри полости, при граничных условиях, задаваемых эквипотенциальной внутренней поверхностью проводника.
Вышеизложенные результаты остаются справедливыми и для полостей произвольной формы. Геометрия полости влияет только на распределение индуцированного заряда по внутренней поверхности, но не на фундаментальный факт: электрическое поле вне полости остаётся нулевым (если внутри полости нет заряда), а при наличии заряда в полости индуцируется соответствующий заряд противоположного знака на её стенках.
Полость в проводнике — это физическая модель Фарадеевой клетки. Внутри полностью замкнутой проводящей оболочки, не содержащей зарядов, электрическое поле всегда отсутствует, независимо от внешних полей. Это используется для защиты точной измерительной аппаратуры, электронных приборов и живых организмов от внешнего электростатического воздействия.
Даже если оболочка содержит отверстия, при условии, что они малы по сравнению с длиной волны электромагнитных возмущений, экранирующий эффект сохраняется. Это объясняется перераспределением зарядов на поверхности проводника, компенсирующим внешние поля.
Если заряд q помещён внутрь полости проводника, то полная энергия системы будет определяться взаимодействием этого заряда с индуцированными зарядами на стенках полости и с зарядом на внешней поверхности проводника (если он не заземлён). Внутреннее распределение зарядов стремится минимизировать потенциальную энергию, соответствуя конфигурации электростатического равновесия.
Если весь проводник соединён с землёй (заземлён), то его потенциал равен нулю. При этом при помещении внутрь полости заряда q на внешней поверхности не возникает никакого заряда, поскольку он уходит в землю. В этом случае:
Таким образом, полость остаётся единственным источником влияния на электрическое поле внутри.