Когда заряд движется с ускорением, он не только создает квазистатическое поле, но и порождает электромагнитное излучение, которое переносит энергию и импульс. На больших расстояниях от источника ускоренного заряда возникает зона излучения, в которой поведение электромагнитного поля качественно отличается от ближнего поля. Поля в этой зоне называют полевыми компонентами излучения, или полями излучения.
Электрическое и магнитное поля в зоне излучения описываются как:
Для анализа излучения от точечного заряда необходимо воспользоваться четырёхмерной формой электродинамики. Потенциалы Лиенара — Вихерта для движущегося точечного заряда q задаются как:
$$ \varphi(\mathbf{r}, t) = \left[ \frac{q}{(1 - \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}{c}) R} \right]_{\text{запазд}}, \quad \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \left[ \frac{q \mathbf{v}}{c(1 - \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}{c}) R} \right]_{\text{запазд}}, $$
где $\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}$ — единичный вектор от положения заряда к точке наблюдения, R = |r − r′(tзап)|, а все величины вычисляются в запаздывающий момент времени tзап, для которого:
$$ t_{\text{зап}} = t - \frac{R}{c}. $$
Из этих потенциалов получаются поля E и B с помощью выражений:
$$ \mathbf{E} = -\nabla \varphi - \frac{1}{c} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}, \quad \mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}. $$
Пусть заряд q движется с ускорением a в момент времени tзап. На больших расстояниях (в зоне излучения) электромагнитное поле принимает следующий вид:
$$ \mathbf{E}_{\text{изл}}(\mathbf{r}, t) = \left[ \frac{q}{c^2 R} \, \hat{\mathbf{n}} \times \left( \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{a} \right) \right]_{\text{зап}}, \quad \mathbf{B}_{\text{изл}} = \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{E}_{\text{изл}}. $$
Ключевые особенности:
Мощность, излучаемая ускоряющимся зарядом, в малом телесном угле dΩ, определяется выражением:
$$ \frac{dP}{d\Omega} = \frac{q^2}{4\pi c^3} |\mathbf{a}_\perp|^2, $$
где $\mathbf{a}_\perp = \mathbf{a} - (\mathbf{a} \cdot \hat{\mathbf{n}})\hat{\mathbf{n}}$ — составляющая ускорения, перпендикулярная направлению излучения. Это означает, что излучение максимально в направлении, перпендикулярном ускорению, и отсутствует вдоль ускорения.
При интегрировании по всем направлениям получаем выражение для полной мощности:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{q^2 a^2}{c^3}, $$
где a = |a| — ускорение заряда. Это формула Лармора — одна из фундаментальных формул классической электродинамики.
Если заряд движется со скоростью, сравнимой со скоростью света, необходимо использовать релятивистское обобщение:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{q^2}{c^3} \gamma^6 \left( |\mathbf{a}|^2 - \frac{(\mathbf{v} \times \mathbf{a})^2}{c^2} \right), $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — релятивистский множитель.
Рассмотрим систему зарядов, например, антенну, у которой возникает переменный дипольный момент:
p(t) = ∑iqiri(t).
Если размеры системы малы по сравнению с длиной волны излучения (дипольное приближение), то основным источником излучения является второй производной дипольного момента:
$$ \mathbf{E}_{\text{изл}}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{c^2 R} \left[ \hat{\mathbf{n}} \times \left( \hat{\mathbf{n}} \times \ddot{\mathbf{p}}(t_{\text{зап}}) \right) \right], \quad \mathbf{B}_{\text{изл}} = \hat{\mathbf{n}} \times \mathbf{E}_{\text{изл}}. $$
Мощность, излучаемая электрическим диполем:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{|\ddot{\mathbf{p}}|^2}{c^3}. $$
Это фундаментальное соотношение используется при анализе антенн, молекулярных переходов и многих других физических явлений.
Если электрический дипольный момент равен нулю или постоянен, то доминирующим становится магнитное дипольное или электрическое квадрупольное излучение.
Магнитный диполь m создает излучение с мощностью:
$$ P = \frac{2}{3} \frac{|\ddot{\mathbf{m}}|^2}{c^3}. $$
Квадрупольное излучение зависит от третьей производной квадрупольного момента и играет важную роль, например, в гравитационном излучении или излучении атомов в определённых переходах.
Излучение сопровождается потерей энергии, и, следовательно, должно существовать реактивное действие на сам заряд. Это учитывается с помощью сили радиационного трения:
$$ \mathbf{F}_{\text{изл}} = \frac{2}{3} \frac{q^2}{c^3} \ddot{\mathbf{a}}. $$
Такое явление учитывается в уравнении Абрахам — Лоренца, но оно приводит к ряду трудностей: появлению “призрачных” решений с экспоненциально растущим ускорением и необходимости задать начальные условия на производную ускорения. Для релятивистского случая используется более обобщённое уравнение Ландо — Лифшица, получаемое из уравнений движения со включением самодействия.
Поля излучения обладают особыми временными и геометрическими свойствами:
$$ \mathbf{S} = \frac{c}{4\pi} \mathbf{E}_{\text{изл}} \times \mathbf{B}_{\text{изл}}, $$
который направлен по вектору $\hat{\mathbf{n}}$ и убывает как $\frac{1}{r^2}$, обеспечивая конечную суммарную мощность.
Реальные устройства, излучающие электромагнитные волны, называются антеннами. Их работа основана на генерации переменного тока, создающего переменные дипольные и более сложные моменты.
Анализ антенн требует решения уравнений Максвелла с граничными условиями, часто с использованием численных методов.
Поля излучения — основа теории распространения радиоволн, микроволн, оптических волн и рентгеновского излучения. Они участвуют:
Электромагнитное излучение — ключевое проявление взаимодействия между зарядами и полем, объединяющее в себе как локальные, так и дальнодействующие эффекты.