Электрический потенциал — это скалярная физическая величина, численно равная работе, совершаемой силами электрического поля при перемещении единичного положительного пробного заряда из данной точки поля в бесконечность. В отличие от векторной характеристики поля — напряжённости — потенциал обладает рядом математических преимуществ при анализе сложных конфигураций поля, особенно при наличии симметрии. Потенциал описывает состояние поля в каждой точке пространства и подчиняется принципу суперпозиции.
Если в некоторой точке пространства потенциал обозначен через φ, то работа A, совершаемая при перемещении заряда q из бесконечности в эту точку, равна:
A = qφ.
Потенциал, создаваемый в данной точке пространства точечным зарядом q, находящимся в вакууме на расстоянии r, определяется выражением:
$$ \varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}, $$
где ε0 — электрическая постоянная, r — расстояние от заряда до рассматриваемой точки.
Этот потенциал стремится к нулю при r → ∞, что соответствует стандартному выбору нуля потенциальной энергии и потенциала на бесконечности.
Так как потенциал — скалярная величина, потенциал, создаваемый системой точечных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_i}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_i|}, $$
где r — радиус-вектор точки, в которой рассчитывается потенциал, а ri — радиус-вектор положения i-го заряда.
Таким образом, потенциал — удобный инструмент для анализа поля, создаваемого системой зарядов, поскольку его легко суммировать, в отличие от векторной напряжённости, требующей векторного сложения.
Рассмотрим два точечных заряда q1 и q2, расположенных в точках с радиус-векторами r1 и r2. Потенциал в произвольной точке пространства r равен:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_1|} + \frac{q_2}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_2|} \right). $$
Если заряды равны по модулю и противоположны по знаку, то система представляет собой электрический диполь. Потенциал диполя в точке, удалённой от него на расстояние r, при r ≫ d, где d — расстояние между зарядами, приближённо выражается как:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^2}, $$
где p = q ⋅ d — дипольный момент, $\hat{\mathbf{r}}$ — единичный вектор в направлении радиус-вектора r.
Множество точек пространства, в которых потенциал имеет одно и то же значение, образует эквипотенциальную поверхность. Для точечного заряда эквипотенциальные поверхности — это концентрические сферы, центрированные в точке расположения заряда.
Особенность эквипотенциальных поверхностей:
В системах нескольких зарядов эквипотенциальные поверхности имеют более сложную форму, однако сохраняется общее свойство: вектор напряжённости поля всегда направлен перпендикулярно к поверхности равного потенциала.
Связь между потенциалом и напряжённостью поля устанавливается через градиент:
E = −∇φ.
В проекционной форме это даёт:
$$ E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial z}. $$
Это означает, что электрическое поле направлено в сторону убывания потенциала, а его модуль равен скорости изменения потенциала по направлению движения.
Полезно также рассмотреть потенциальную энергию взаимодействия системы из n точечных зарядов. Для пары зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r12, она равна:
$$ U_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r_{12}}. $$
Для системы из n зарядов потенциальная энергия записывается как сумма по всем парам:
$$ U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{i<j} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}. $$
Здесь rij — расстояние между зарядами qi и qj. Энергия зависит только от взаимного расположения и величин зарядов. Важно понимать, что эта энергия — характеристика всей системы, а не отдельной точки поля.
Если в некоторой точке пространства известен потенциал φ, то потенциальная энергия заряда q, помещённого в эту точку, выражается как:
U = qφ.
Это фундаментальное соотношение используется при расчётах работы электрического поля, энергий взаимодействия и при анализе устойчивости конфигураций зарядов.
Хотя в данной главе рассматривается система дискретных точечных зарядов, следует отметить, что при переходе к непрерывному распределению заряда, выражение для потенциала принимает интегральную форму:
$$ \varphi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|} \, dV', $$
где ρ(r′) — объёмная плотность заряда, а интегрирование ведётся по всему объёму, в котором присутствует заряд.
Эта формула переходит в дискретную сумму при ограниченном числе точечных зарядов, подтверждая универсальность и фундаментальность подхода через потенциал.