Преобразования Лоренца для полей

Лоренцевы преобразования для электромагнитных полей

Формулировка задачи

Электромагнитное поле описывается в терминах электрического вектора E и магнитного вектора B, зависящих от положения и времени. Однако в релятивистской теории физические величины подвержены преобразованиям при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Для описания поведения электромагнитных полей при таких переходах необходимо определить, как компоненты E и B преобразуются при преобразованиях Лоренца.

Предварительные замечания

Пусть даны две инерциальные системы отсчета:

  • Система S: лабораторная система;
  • Система S′: движется с постоянной скоростью v относительно S вдоль оси x.

Скорость v = vx̂, и используем стандартные преобразования Лоренца вдоль оси x:

$$ t' = \gamma \left( t - \frac{v x}{c^2} \right), \quad x' = \gamma (x - v t), \quad y' = y, \quad z' = z $$

где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — лоренцевский фактор.

Поле как тензор второго ранга

Для лаконичного и ковариантного описания электромагнитного поля вводится электромагнитный тензор:

$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \\ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \\ E_z/c & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix} $$

Этот тензор антисимметричен: Fμν = −Fνμ. Преобразование Лоренца тогда представляет собой тензорное преобразование:

F′μν = Λ αμΛ βνFαβ

где Λ νμ — матрица преобразования Лоренца.

Явные преобразования компонент поля

Для конкретного случая движения вдоль оси x и векторов E и B, получаются следующие преобразования:

Продольные компоненты (вдоль направления движения):

E′x = Ex,  B′x = Bx

Поперечные компоненты (перпендикулярные направлению движения):

E′y = γ(Ey − vBz),  E′z = γ(Ez + vBy)

$$ B'_y = \gamma \left( B_y + \frac{v}{c^2} E_z \right), \quad B'_z = \gamma \left( B_z - \frac{v}{c^2} E_y \right) $$

Таким образом, при переходе в другую систему отсчета электрическое и магнитное поля взаимопревращаются: компоненты одного типа поля могут порождать компоненты другого.

Векторная форма преобразований

Пусть v = vx̂ — скорость перехода к новой системе, тогда преобразования могут быть записаны в векторной форме:

  • Преобразование электрического поля:

E′∥ = E∥,  E′⟂ = γ(E⟂ + v × B)

  • Преобразование магнитного поля:

$$ \mathbf{B}'_\parallel = \mathbf{B}_\parallel, \quad \mathbf{B}'_\perp = \gamma \left( \mathbf{B}_\perp - \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E} \right) $$

Здесь:

  • E∥, B∥ — проекции на направление v,
  • E⟂, B⟂ — проекции, перпендикулярные v.

Следствия и физический смысл

  1. Релятивистская взаимосвязь E и B: Электрическое и магнитное поля не являются независимыми сущностями — они компоненты единого тензора. То, что в одной системе отсчета проявляется как чисто электрическое поле, в другой может включать магнитное составляющее и наоборот.

  2. Пример — движущийся заряд: Заряд, покоящийся в системе S′, создает в ней только электрическое поле. Однако в лабораторной системе S, где заряд движется, наблюдается и магнитное поле, связанное с его током. Это магнитное поле — результат преобразования чисто электрического поля.

  3. Релятивистский инвариант: Существует инвариантное выражение:

    E ⋅ B = инвариант Лоренца

    Оно не изменяется при преобразованиях. Другой инвариант:

    E2 − c2B2 = инвариант

    Эти инварианты играют ключевую роль при классификации электромагнитных полей.

Пример: Поперечное поле

Рассмотрим чисто магнитное поле B = Bẑ в системе S, и движение вдоль x-оси с v = vx̂. Тогда в системе S′ появится электрическое поле:

E′ = γ(v × B) = γvBŷ

Таким образом, наблюдатель в S′ регистрирует поперечное электрическое поле, возникающее в результате движения сквозь магнитное.

Обратные преобразования

Используя симметрию преобразований Лоренца, обратные формулы получаются заменой v → −v:

$$ \mathbf{E}_\perp = \gamma \left( \mathbf{E}'_\perp - \mathbf{v} \times \mathbf{B}' \right), \quad \mathbf{B}_\perp = \gamma \left( \mathbf{B}'_\perp + \frac{1}{c^2} \mathbf{v} \times \mathbf{E}' \right) $$

Преобразование плотности тока и заряда

Четырёх-вектор плотности тока jμ = (ρc, j) также подвержен преобразованиям Лоренца:

$$ \rho' = \gamma \left( \rho - \frac{v j_x}{c^2} \right), \quad j'_x = \gamma (j_x - v \rho), \quad j'_y = j_y, \quad j'_z = j_z $$

Это необходимо учитывать при анализе источников полей в различных системах отсчета.

Ковариантная форма уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла можно записать в тензорной форме:

∂μFμν = μ0jν

∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0

Эти уравнения сохраняют форму при преобразованиях Лоренца, что обеспечивает их релятивистскую инвариантность.

Значение и применение

Преобразования Лоренца для полей необходимы для:

  • анализа электродинамики движущихся тел,
  • корректной формулировки задач в ускорителях частиц и плазме,
  • перехода к квантовой электродинамике,
  • понимания глубинной связи между электрическим и магнитным взаимодействиями.

Преобразования подчеркивают, что электрическое и магнитное поля неразрывно связаны в структуре пространства-времени, и физически представляют собой различные проекции единого поля на разные срезы инерциальных систем.

Оглавление