Сферическая симметрия
В случае сферической симметрии заряд распределён равномерно по поверхности сферы или внутри сферического объёма. Для применения теоремы Гаусса выбирается гауссова поверхность в виде сферы с центром, совпадающим с центром симметрии заряда.
Если заряд распределён внутри сферы с радиусом R равномерно с объёмной плотностью ρ, то полное количество заряда внутри сферы радиуса r < R определяется как:
$$ q_{\text{вн}} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 $$
Применяя теорему Гаусса:
$$ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{\text{вн}}}{\varepsilon_0} $$
$$ E \cdot 4\pi r^2 = \frac{\rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3}{\varepsilon_0} $$
$$ E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0} $$
Для точки вне сферы r ≥ R, заряд внутри гауссовой поверхности будет равен полному заряду:
$$ q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 $$
И тогда:
$$ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} $$
Таким образом, снаружи заряженной сферы поле эквивалентно полю точечного заряда, расположенного в центре.
Цилиндрическая симметрия
Для бесконечного длинного прямого цилиндра с равномерным распределением заряда по объёму с плотностью ρ, гауссова поверхность выбирается в виде коаксиального цилиндра радиуса r.
Для r < R:
qвн = ρ ⋅ πr2L
$$ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = E \cdot 2\pi r L = \frac{\rho \cdot \pi r^2 L}{\varepsilon_0} $$
$$ E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0} $$
Для r ≥ R:
Полный заряд внутри:
q = ρ ⋅ πR2L
$$ E \cdot 2\pi r L = \frac{\rho \cdot \pi R^2 L}{\varepsilon_0} $$
$$ E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r} $$
Аналогичный подход применяется и в случае поверхностного заряда σ на бесконечном цилиндре, где заряд содержится на боковой поверхности. В этом случае:
qвн = σ ⋅ 2πRL
$$ E = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0 r} $$
Плоская симметрия
Плоская симметрия рассматривается в случаях бесконечно протяжённых плоскостей с равномерным распределением заряда. Теорема Гаусса применяется путём выбора гауссовой поверхности в форме цилиндра, перпендикулярного плоскости, с его торцами по разные стороны от неё.
Для бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда σ:
$$ \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = 2E \cdot A = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0} $$
$$ E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $$
Поле одинаково по обе стороны от плоскости, направлено перпендикулярно к ней.
Для двух параллельных плоскостей, заряженных с плотностями +σ и −σ, электрическое поле между ними удваивается:
$$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} $$
Снаружи же поля взаимно компенсируются.
Проводящие тела и теорема Гаусса
При равновесии электрическое поле внутри проводника равно нулю. Заряд распределяется только на поверхности. Теорема Гаусса позволяет строго показать, что:
$$ E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} $$
(если рассматривать только внешнюю сторону проводника и отсутствие других влияющих объектов)
Если внутри проводника есть полость, то заряд на её внутренней поверхности возникает так, чтобы компенсировать влияние вложенного заряда, и вне полости поле отсутствует. Это также строго подтверждается применением теоремы Гаусса.
Симметрия и выбор гауссовой поверхности
Ключ к эффективному применению теоремы Гаусса — правильный выбор гауссовой поверхности:
Важно, чтобы поле E⃗ на поверхности было либо постоянным по модулю и направлению, либо равным нулю, что позволяет упростить интеграл в теореме Гаусса.
Случаи, где теорема Гаусса неприменима напрямую
Если конфигурация заряда не обладает высокой симметрией, поле E⃗ изменяется по направлению и величине в пределах гауссовой поверхности. В таком случае теорема Гаусса остаётся справедливой как математическое тождество, но не позволяет выразить E в явной форме без решения уравнений Максвелла или применения численных методов.
Примеры
Сводные формулы для симметричных конфигураций
| Конфигурация | Поле E |
|---|---|
| Вне заряженной сферы | $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ |
| Внутри заряженной сферы | $E = \frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$ |
| Вне заряженного цилиндра | $E = \frac{\rho R^2}{2\varepsilon_0 r}$ |
| Внутри заряженного цилиндра | $E = \frac{\rho r}{2\varepsilon_0}$ |
| От бесконечной плоскости | $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ |
| Между двумя противоположно заряженными плоскостями | $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ |
Применение теоремы Гаусса к симметричным системам является мощным инструментом для получения точных выражений для электрического поля без решения дифференциальных уравнений. Она особенно эффективна в случаях высокой симметрии — сферической, цилиндрической и плоской.