Законы Максвелла, описывающие поведение электрических и магнитных полей, в своей изначальной форме были сформулированы в рамках классической физики. Однако в отличие от законов механики Ньютона, эти уравнения не инвариантны относительно преобразований Галилея, что создаёт глубокое противоречие между классической механикой и электродинамикой. Прямое применение преобразований Галилея к уравнениям Максвелла приводит к тому, что форма уравнений изменяется, нарушая их симметрию и физическую интерпретацию.
Для устранения этого конфликта потребовалось пересмотреть фундаментальные представления о пространстве и времени. Это привело к появлению специальной теории относительности, в которой принцип относительности обобщается не только на механические, но и на электромагнитные процессы.
Формулировка специальной теории относительности основывается на двух постулатах:
Эти два постулата влекут за собой необходимость заменить преобразования Галилея преобразованиями Лоренца.
Пусть имеются две инерциальные системы отсчёта: S и S′, где S′ движется с постоянной скоростью v вдоль оси x относительно S. Тогда преобразования Лоренца имеют следующий вид:
$$ x' = \gamma (x - vt), \quad t' = \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right), \quad y' = y, \quad z' = z, $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — фактор Лоренца.
Под действием этих преобразований уравнения Максвелла сохраняют свою форму. Это означает, что электродинамика согласуется с принципом относительности в рамках специальной теории относительности, а преобразования Лоренца являются естественным преобразованием между инерциальными системами в электродинамике.
Для полной инвариантности электродинамики используется описание в терминах тензорного формализма. Электромагнитное поле в специальной теории относительности описывается с помощью антисимметричного тензора второго ранга Fμν, компоненты которого содержат электрическое и магнитное поля:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} $$
Преобразование Fμν под действием преобразований Лоренца также сохраняет структуру тензора, обеспечивая ковариантность уравнений Максвелла:
∂μFμν = μ0Jν,
где Jν — четырёхмерный вектор плотности тока, включающий плотность заряда и плотность тока.
В релятивистской электродинамике пространство и время объединяются в единое четырёхмерное пространство Минковского. В этом пространстве физические величины описываются в виде четырёхмерных векторов и тензоров.
Уравнения Максвелла сводятся к двум компактным тензорным уравнениям:
∂μFμν = μ0Jν, ∂λFμν + ∂μFνλ + ∂νFλμ = 0.
Таким образом, электродинамика в рамках специальной теории относительности получает единую и лаконичную математическую структуру.
Под действием преобразований Лоренца электрические и магнитные поля взаимопревращаются. Пусть в системе S имеются поля E, B. Тогда в системе S′, движущейся со скоростью v вдоль оси x, поля примут вид:
$$ \begin{aligned} E_x' &= E_x, \\ E_y' &= \gamma(E_y - vB_z), \\ E_z' &= \gamma(E_z + vB_y), \\ B_x' &= B_x, \\ B_y' &= \gamma(B_y + \frac{v}{c^2}E_z), \\ B_z' &= \gamma(B_z - \frac{v}{c^2}E_y). \end{aligned} $$
Эти формулы демонстрируют, что понятия электрического и магнитного поля являются относительными: в одной системе наблюдается преимущественно электрическое поле, в другой — магнитное.
1. Движущийся заряд. Пусть точечный заряд покоится в системе S. В этой системе он создаёт чисто электрическое поле. Однако в системе S′, движущейся относительно заряда, появляется также магнитное поле, связанное с движущимся зарядом (током). Это наглядно показывает, что магнитное поле возникает как релятивистский эффект движения электрических зарядов.
2. Закон индукции. Рассмотрим проводник, движущийся в магнитном поле. В одной системе отсчёта возникает ЭДС индукции вследствие движения проводника в магнитном поле, в другой — поле оказывается электрическим уже в покоящейся системе проводника. Оба описания эквивалентны и согласуются с принципом относительности.
В релятивистской теории величины энергии и импульса также входят в состав единой математической конструкции — тензора энергии-импульса:
$$ T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left( F^{\mu\lambda} F^\nu_{\ \lambda} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right), $$
где ημν — метрический тензор пространства Минковского. Этот тензор описывает плотность и поток энергии, импульса, давления и напряжений, создаваемых электромагнитным полем. Он полностью согласуется с принципом относительности и играет важную роль в взаимодействии полей с веществом.
Таким образом, принцип относительности в электродинамике требует коренной пересмотра классических представлений о пространстве и времени и приводит к фундаментальному единству физических законов в инерциальных системах отсчёта.