При помещении заряда в электрическое поле на него начинает действовать сила. Если этот заряд перемещается под действием электрической силы, то совершается работа. Электрическая сила, действующая на точечный заряд q, определяется выражением:
F⃗ = qE⃗
где E⃗ — напряжённость электрического поля. Работа силы F⃗ при перемещении заряда на малый элемент пути dl⃗ равна:
dA = F⃗ ⋅ dl⃗ = qE⃗ ⋅ dl⃗
Полная работа при перемещении заряда по траектории от точки 1 до точки 2:
A12 = q∫12E⃗ ⋅ dl⃗
В однородном поле вектор напряжённости E⃗ постоянен по величине и направлению. Если заряд q перемещается по прямолинейному участку длиной d вдоль поля, то:
A = qEdcos θ
где θ — угол между вектором E⃗ и направлением перемещения. В случае, когда перемещение направлено по полю (θ = 0):
A = qEd
Если против поля (θ = π):
A = −qEd
Работа не совершается, если перемещение происходит по направлению, перпендикулярному полю:
$$ A = 0 \quad \text{при} \quad \theta = \frac{\pi}{2} $$
В общем случае поле неоднородно, и его напряжённость зависит от координат. Работа вычисляется через криволинейный интеграл:
A12 = q∫12E⃗(r⃗) ⋅ dl⃗
Однако в электростатике поле потенциально. Это означает, что работа не зависит от пути, а зависит только от начальной и конечной точек.
Работа по замкнутому пути в электростатическом поле всегда равна нулю:
∮E⃗ ⋅ dl⃗ = 0
Это фундаментальное свойство делает электростатическое поле консервативным. Следовательно, можно ввести скалярную функцию — электрический потенциал φ, такой, что:
E⃗ = −∇φ
Тогда работа может быть выражена через разность потенциалов:
A12 = q(φ1 − φ2)
Пусть заряд q перемещается в поле. Электрическое поле совершает над ним работу, а потенциальная энергия изменяется. По определению:
A = −ΔU
где U — потенциальная энергия заряда в поле. Если в начальной точке потенциальная энергия была U1, а в конечной — U2, то:
A = U1 − U2 = −(U2 − U1)
Потенциальная энергия заряда в точке, где потенциал равен φ, равна:
U = qφ
Электрическое поле точечного заряда Q, расположенного в начале координат:
$$ \vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \cdot \hat{r} $$
Для перемещения пробного заряда q от расстояния r1 до r2 работа будет:
$$ A = q \int_{r_1}^{r_2} \vec{E} \cdot d\vec{l} = q \cdot \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot Q \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2} $$
$$ A = \frac{qQ}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right) $$
Знак работы зависит от знаков зарядов и направления перемещения.
Работа электрического поля — это количество энергии, переданное заряду при его перемещении. Если поле совершает положительную работу над положительным зарядом, то заряд ускоряется, его кинетическая энергия увеличивается.
В случае торможения (движение против поля) поле совершает отрицательную работу, и энергия заряда уменьшается — либо кинетическая энергия убывает, либо возрастает потенциальная энергия.
Если поле создаётся системой зарядов Q1, Q2, …, Qn, то напряжённость в любой точке определяется по принципу суперпозиции:
$$ \vec{E} = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_i $$
Работа, совершаемая при перемещении заряда в таком поле, определяется с учётом полной напряжённости:
$$ A = q \int_{1}^{2} \left( \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_i \right) \cdot d\vec{l} $$
Поскольку каждое из полей потенциально, сумма тоже потенциальна, и полная работа зависит лишь от разности потенциалов начальной и конечной точек.
Линии напряжённости поля направлены в сторону убывания потенциала. Работа при перемещении вдоль линии напряжённости положительна для положительного заряда и отрицательна для отрицательного.
При движении по эквипотенциальной поверхности (перпендикулярно линиям поля) работа не совершается, так как dl⃗ ⟂ E⃗ ⇒ E⃗ ⋅ dl⃗ = 0.
В системе СИ работа измеряется в джоулях:
[A] = [q][φ] = Кл ⋅ В = Дж
Так, перемещение заряда 1 Кл между точками с разностью потенциалов 1 В требует или освобождает 1 Дж энергии.
Понимание работы в электрическом поле лежит в основе действия множества устройств: конденсаторов, электростатических ускорителей, вакуумных трубок, электронно-лучевых трубок. Всякий раз, когда заряд перемещается под действием поля, имеет место преобразование энергии — будь то в механическую, тепловую или световую форму.