Рассмотрим распространение электромагнитных волн в линейной, изотропной и однородной среде, не содержащей свободных зарядов и токов, но обладающей диэлектрическими свойствами. В такой среде плотность свободного заряда ρ и плотность тока j равны нулю. Уравнения Максвелла в этом случае принимают вид:
$$ \begin{aligned} &\nabla \cdot \mathbf{D} = 0, \\ &\nabla \cdot \mathbf{B} = 0, \\ &\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \\ &\nabla \times \mathbf{H} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}. \end{aligned} $$
С учетом линейных связей между векторами напряженности и индукции:
D = εε0E, B = μμ0H,
где ε — относительная диэлектрическая проницаемость, μ — относительная магнитная проницаемость, а ε0 и μ0 — электрическая и магнитная постоянные.
Для получения волнового уравнения применим оператор ротора ко второму уравнению Максвелла:
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) = - \mu \mu_0 \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}. $$
Поскольку:
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ ⋅ E) − ∇2E,
а в отсутствие свободных зарядов ∇ ⋅ E = 0, получаем:
$$ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu \mu_0 \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}. $$
Аналогично можно вывести волновое уравнение и для магнитного поля:
$$ \nabla^2 \mathbf{H} = \mu \mu_0 \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{H}}{\partial t^2}. $$
Таким образом, в диэлектрике электромагнитные волны удовлетворяют классическим волновым уравнениям с фазовой скоростью:
$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu \mu_0 \varepsilon \varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu \varepsilon}}, $$
где $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ — скорость света в вакууме.
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z. Поля E и H выбираются так, чтобы они были перпендикулярны направлению распространения:
E(z, t) = E0cos (kz − ωt)x̂, H(z, t) = H0cos (kz − ωt)ŷ.
Величины k и ω связаны соотношением:
$$ k = \frac{\omega}{v} = \frac{\omega \sqrt{\mu \varepsilon}}{c}. $$
Связь между амплитудами:
$$ \frac{E_0}{H_0} = Z = \sqrt{\frac{\mu \mu_0}{\varepsilon \varepsilon_0}} = Z_0 \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}, $$
где $Z_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 377 \, \Omega$ — волновое сопротивление вакуума.
Плотность энергии электромагнитной волны в диэлектрике:
$$ u = u_E + u_H = \frac{1}{2} \varepsilon \varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2} \mu \mu_0 H^2. $$
Вектор Пойнтинга, характеризующий поток энергии:
S = E × H.
Для плоской волны:
$$ \langle S \rangle = \frac{1}{2} E_0 H_0 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon \varepsilon_0}{\mu \mu_0}} E_0^2 = \frac{1}{2} \frac{E_0^2}{Z}. $$
В реальных диэлектриках относительная проницаемость ε(ω) зависит от частоты. Это явление называется дисперсией. При этом фазовая скорость волны становится функцией частоты:
$$ v(\omega) = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon(\omega) \mu}}. $$
Если диэлектрик обладает потерями, ε становится комплексной:
ε = ε′ − iε″,
где ε″ отвечает за поглощение. Тогда волновое число k также становится комплексным:
$$ k = \frac{\omega}{c} \sqrt{\mu (\varepsilon' - i \varepsilon'')} = \beta - i \alpha, $$
где α — коэффициент затухания, β — фазовая составляющая волнового числа.
Фазовая скорость — это скорость движения поверхности равной фазы:
$$ v_\text{ф} = \frac{\omega}{k}. $$
Групповая скорость описывает распространение огибающей волнового пакета:
$$ v_\text{гр} = \frac{d\omega}{dk}. $$
В дисперсионной среде vф ≠ vгр. Эти различия играют ключевую роль, например, в оптоволоконной связи, где искажение сигналов связано с различием скоростей для разных частот.
При переходе электромагнитной волны из вакуума в диэлектрик (или между двумя диэлектриками), волна частично отражается и частично проходит в новую среду. Углы отражения и преломления описываются законом Снеллиуса:
n1sin θ1 = n2sin θ2,
где $n = \sqrt{\varepsilon \mu}$ — показатель преломления среды.
Коэффициенты отражения и пропускания зависят от поляризации и угла падения и могут быть найдены из граничных условий Максвелла. При нормальном падении, например:
$$ R = \left( \frac{n_1 - n_2}{n_1 + n_2} \right)^2, \qquad T = 1 - R. $$
В более сложных случаях, например, в кристаллах, свойства среды зависят от направления поля: ε становится тензором. Это приводит к двулучепреломлению, при котором волна расщепляется на обыкновенную и необыкновенную составляющие, распространяющиеся с разной скоростью.
В нелинейных средах D уже не пропорционален E. Например:
D = ε0(χ(1)E + χ(2)E2 + χ(3)E3 + …),
где χ(n) — нелинейные поляризуемости. Это приводит к таким явлениям, как генерация второй гармоники, самофокусировка и солитоны.
В присутствии поглощения волна испытывает экспоненциальное затухание. Поле в такой среде можно записать в виде:
E(z, t) = E0e−αzcos (kz − ωt),
где α — коэффициент поглощения, зависящий от ε″.
Часто используют комплексный показатель преломления:
ñ = n + iκ,
где κ — коэффициент экстинкции. Поглощение энергии среды при этом описывается через:
I(z) = I0e−2αz = I0e−z/δ,
где δ — глубина проникновения (скин-слой).
Если среда обладает слабой проводимостью σ, то в уравнение Максвелла добавляется ток проводимости:
$$ \nabla \times \mathbf{H} = \varepsilon \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \sigma \mathbf{E}. $$
Это приводит к появлению комплексного волнового числа, аналогично случаю с комплексной проницаемостью, и, как следствие, к затуханию волны. Волна проникает вглубь проводящей среды на характерную длину, называемую глубиной скин-слоя:
$$ \delta = \sqrt{\frac{2}{\mu \mu_0 \sigma \omega}}. $$
Этот эффект играет ключевую роль в высокочастотной технике и микроволновой оптике.