Классическое описание рассеяния электромагнитных волн
Рассмотрим поведение электромагнитной волны при её взаимодействии с локализованным объектом, размеры которого сравнимы или меньше длины волны падающего излучения. Такой процесс называется рассеянием. Основываясь на уравнениях Максвелла и модели взаимодействия поля с заряженными частицами, можно построить полную физическую картину рассеяния.
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в вакууме. Если на пути волны оказывается частица (например, атом, молекула, капля, микроскопический объект), то её заряды начинают колебаться под действием переменного электрического поля падающей волны. Возникает индуцированный дипольный момент, который в свою очередь излучает собственное электромагнитное поле — рассеянную волну.
Если размер рассеивателя a ≪ λ, где λ — длина волны, можно использовать дипольное приближение. Индуцированный дипольный момент p(t) связан с падающим полем:
p(t) = αE0e−iωt
где α — поляризуемость частицы, E0 — амплитуда электрического поля падающей волны.
Излучение колеблющегося диполя описывается классическими уравнениями. На больших расстояниях от диполя (в зоне излучения, r ≫ λ) электромагнитное поле имеет вид:
$$ \mathbf{E}_{\text{изл}} = \frac{k^2}{4\pi \varepsilon_0} \left( \hat{\mathbf{r}} \times (\hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{p}) \right) \frac{e^{ikr}}{r} $$
$$ \mathbf{B}_{\text{изл}} = \frac{1}{c} \hat{\mathbf{r}} \times \mathbf{E}_{\text{изл}} $$
где k = ω/c, $\hat{\mathbf{r}}$ — единичный вектор направления распространения рассеянной волны.
Излучаемая мощность определяется формулой Лармора:
$$ P = \frac{\mu_0 q^2 a^2}{6\pi c} $$
где a — ускорение заряда, индуцированного полем.
Сечение рассеяния — количественная мера интенсивности рассеянной волны. Дифференциальное сечение рассеяния в направлении угла θ (относительно направления поля) для дипольного рассеяния:
$$ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left( \frac{k^4 |\alpha|^2}{16\pi^2 \varepsilon_0^2} \right) \sin^2 \theta $$
Это выражение показывает, что рассеяние максимально в перпендикулярном к диполю направлении и минимально вдоль его оси. Общая мощность, рассеянная во все стороны, даёт полное сечение рассеяния:
$$ \sigma = \int \frac{d\sigma}{d\Omega} \, d\Omega = \frac{k^4 |\alpha|^2}{6\pi \varepsilon_0^2} $$
В дипольном приближении для маленьких частиц сечением рассеяния можно выразить через длину волны:
$$ \sigma \propto \frac{1}{\lambda^4} $$
Этот закон объясняет, например, голубой цвет неба: коротковолновое (синее) излучение рассеивается гораздо сильнее, чем длинноволновое (красное).
Если рассеиватель не является изотропным (например, удлинённая частица, кристалл, молекула с направленной структурой), поляризуемость становится тензором:
pi = ∑jαijEj
Тогда интенсивность рассеянного излучения зависит не только от направления, но и от ориентации частицы. Это приводит к эффектам деполяризации, а также к возникновению сложных угловых распределений рассеянной мощности.
В более общей ситуации, когда размеры рассеивателя соизмеримы с длиной волны или превышают её, необходимо решать уравнения Максвелла с граничными условиями на поверхности тела. Для сферических тел с радиусом a ∼ λ применяется теория Ми, в которой поле представляется в виде разложений по сферическим гармоникам и сферическим функциями Бесселя.
Характерные особенности:
При рассеянии электромагнитной волны на свободных электронах (в частности, в разреженной плазме) наблюдается так называемое томсоновское рассеяние. В нерелятивистском случае (скорость электрона v ≪ c) полное сечение рассеяния:
$$ \sigma_T = \frac{8\pi}{3} \left( \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 m c^2} \right)^2 \approx 6.65 \cdot 10^{-29} \, \text{м}^2 $$
При высоких энергиях (релятивистский режим) нужно учитывать эффекты Комптона, и рассеяние становится неупругим: часть энергии передаётся электрону, изменяя частоту излучения.
При приближении частоты падающей волны к резонансной частоте атома или молекулы возникает явление резонансного рассеяния. Поляризуемость принимает вид:
$$ \alpha(\omega) = \frac{e^2/m}{\omega_0^2 - \omega^2 - i\gamma\omega} $$
где ω0 — резонансная частота, γ — коэффициент затухания. Возникают характерные пики в спектре рассеяния (линии Рэлея, Рамана и др.), сопровождающиеся изменением фазы, частоты или направления рассеянной волны.
В случае рассеяния на совокупности частиц важно учитывать взаимную когерентность излучения. Если волны от разных рассеивателей когерентны (например, кристаллическая решётка), возникает интерференционная картина (дифракция). Если же они некогерентны (например, рассеяние на газе), интенсивности просто складываются.
Когерентное рассеяние даёт информацию о структуре вещества (рентгеновская дифракция, нейтронография), тогда как некогерентное — об отдельных элементах среды (анализ состава плазмы, атмосферы, биологических объектов).
Таким образом, рассеяние электромагнитных волн охватывает широкий спектр физических явлений — от классической электродинамики до квантовой физики, от оптики до астрофизики. Рассмотрение различных режимов рассеяния позволяет понять тонкие особенности взаимодействия света с веществом.