В рамках специальной теории относительности полное описание движения заряженной частицы требует использования четырёхмерного формализма. Частица с массой m и зарядом q, движущаяся под действием электромагнитного поля, описывается четырёх-скоростью uμ, удовлетворяющей нормировочному условию:
uμuμ = c2,
где $u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$, а τ — собственное время частицы.
Динамика частицы описывается четырёх-силой Kμ, связанной с тензором электромагнитного поля Fμν следующим образом:
$$ K^\mu = \frac{dp^\mu}{d\tau} = \frac{d}{d\tau}(m u^\mu) = \frac{q}{c} F^{\mu\nu} u_\nu. $$
Это уравнение представляет собой релятивистский аналог второго закона Ньютона и показывает, что изменение четырёх-импульса частицы обусловлено действием электромагнитного поля.
Тензор Fμν содержит в себе компоненты электрического и магнитного полей:
$$ F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}. $$
Таким образом, взаимодействие частицы с полем описывается компактно через свёртку этого тензора с четырёх-скоростью.
В явном трёхмерном виде уравнение движения частицы в электромагнитном поле записывается:
$$ \frac{d}{dt} \left( \gamma m \mathbf{v} \right) = q\left( \mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B} \right), $$
где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ — лоренцевский фактор.
Это уравнение — релятивистская обобщённая форма второго закона Ньютона, где импульс приобретает нелинейную зависимость от скорости.
Полная релятивистская энергия частицы в электромагнитном поле:
ℰ = γmc2.
Мгновенное изменение энергии связано с работой электрического поля:
$$ \frac{d\mathcal{E}}{dt} = q \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}. $$
Магнитное поле не совершает работы над частицей, так как сила Лоренца, обусловленная магнитной составляющей, всегда перпендикулярна скорости.
Пусть E = 0, B = Bẑ. Тогда уравнение Лоренца:
$$ \frac{d}{dt} (\gamma m \mathbf{v}) = \frac{q}{c} \mathbf{v} \times \mathbf{B}. $$
Проекция на ось z: vz = const, поскольку сила перпендикулярна v⟂.
В плоскости xOy движение происходит по окружности:
$$ \gamma m \frac{d\mathbf{v}_\perp}{dt} = \frac{q}{c} \mathbf{v}_\perp \times \mathbf{B}, $$
что даёт циклическое движение с релятивистской циклотронной частотой:
$$ \omega = \frac{qB}{\gamma mc}. $$
Период обращения увеличивается по сравнению с классическим случаем за счёт зависимости γ от скорости.
Если B = 0, E = Ex̂, то:
$$ \frac{d}{dt}(\gamma m v_x) = q E. $$
Решение этого уравнения даёт зависимость скорости от времени:
$$ v_x(t) = \frac{q E t / m}{\sqrt{1 + (qEt / mc)^2}}. $$
При t → ∞, vx → c, то есть движение асимптотически приближается к скорости света, но никогда её не достигает.
Энергия нарастает как:
$$ \mathcal{E}(t) = \sqrt{m^2 c^4 + (qEt)^2}. $$
Пусть E = Ex̂, B = Bẑ. Тогда уравнение Лоренца принимает вид:
$$ \frac{d\mathbf{p}}{dt} = q\left( \mathbf{E} + \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B} \right). $$
При определённом соотношении E < cB существует система отсчёта, в которой электрическое поле исчезает. Это даёт возможность перейти в систему, где частица движется по окружности, а в лабораторной системе её движение представляет собой дрейф со скоростью:
$$ \mathbf{v}_\text{др} = \frac{\mathbf{E} \times \mathbf{B}}{B^2}. $$
Полный четырёхмерный закон движения:
$$ \frac{dp^\mu}{d\tau} = \frac{q}{c} F^{\mu\nu} u_\nu $$
гарантирует автоматическое соблюдение ковариантности. Это уравнение не только объединяет электрическую и магнитную составляющие силы в единое геометрическое выражение, но и обеспечивает согласование с преобразованиями Лоренца, позволяя корректно описывать движение в любых инерциальных системах отсчёта.
При этом пространственные компоненты тождества дают обычную силу Лоренца, а временная компонента соответствует изменению энергии частицы:
$$ \frac{d\mathcal{E}}{dt} = q \mathbf{v} \cdot \mathbf{E}. $$
Электрон, разгоняемый в сильном электрическом поле, приобретает релятивистские скорости. Его масса, определяемая через γm, возрастает, поэтому для дальнейшего ускорения требуется всё больше энергии. При этом магнитные поля используются для отклонения и фокусировки траектории, что требует учёта релятивистской зависимости частоты обращения.
Например, в синхротроне частота вращения поддерживается постоянной за счёт синхронизации с радиочастотным ускоряющим полем, компенсируя рост массы частицы.
Важной характеристикой системы является инвариант массы:
pμpμ = m2c2.
Этот инвариант сохраняется при всех преобразованиях Лоренца и служит основой для определения четырёх-импульса.
Также сохраняется инвариантное выражение мощности, передаваемой электрическим полем:
$$ \frac{d\mathcal{E}}{d\tau} = \frac{q}{c} F^{0\nu} u_\nu c = q u^i E_i, $$
что подчеркивает фундаментальную роль электрической составляющей поля в изменении энергии частицы.
Релятивистская динамика заряженной частицы лежит в основе работы ускорителей элементарных частиц, синхротронных источников, космических лучей, а также является основой описания процессов в астрофизике и плазменной физике. Формализм четырёх-векторов и тензоров электромагнитного поля обеспечивает не только компактность записи, но и гарантирует соблюдение принципов относительности при переходе между различными системами отсчёта.