RLC-цепь

Синусоидальный ток в RLC-цепи переменного тока

RLC-цепь представляет собой электрическую цепь, содержащую три элемента: резистор (R), катушку индуктивности (L) и конденсатор (C), соединённые последовательно или параллельно. В случае последовательного соединения элементы соединены в одну цепь, и один и тот же ток проходит через все три элемента. Это классическая модель колебательного контура, широко применяемая в радиотехнике и электронике.

В RLC-цепи под действием переменного синусоидального напряжения наблюдается сложное взаимодействие между резистивным сопротивлением, индуктивным сопротивлением и ёмкостным сопротивлением, вызывающее фазовый сдвиг между током и напряжением, а также явления резонанса и затухания.

Уравнение тока в последовательной RLC-цепи

Пусть на последовательную RLC-цепь подаётся синусоидальное напряжение источника:

u(t) = U0cos (ωt)

Закон Кирхгофа для замкнутого контура даёт:

UR + UL + UC = U0cos (ωt)

Где:

  • UR = IR — напряжение на резисторе
  • $U_L = L \frac{dI}{dt}$ — напряжение на индуктивности
  • $U_C = \frac{1}{C} \int I \, dt$ — напряжение на конденсаторе

Подставляя эти выражения, получаем дифференциальное уравнение:

$$ L \frac{d^2I}{dt^2} + R \frac{dI}{dt} + \frac{1}{C} I = \frac{d}{dt}U_0 \cos(\omega t) = -U_0 \omega \sin(\omega t) $$

Комплексный метод анализа

Для анализа установившегося режима используют метод комплексных амплитуд. Представим напряжение и ток в виде комплексных экспонент:

u(t) = ℜ[Ueiωt],  i(t) = ℜ[Ieiωt]

Комплексное сопротивление (импеданс) последовательной RLC-цепи:

$$ Z = R + i\omega L - \frac{i}{\omega C} = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) $$

Модуль импеданса:

$$ |Z| = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2} $$

Комплексный ток:

$$ I = \frac{U}{Z} $$

Амплитуда тока:

$$ I_0 = \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}} $$

Фазовый сдвиг φ между током и напряжением:

$$ \tan \varphi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} $$

Поведение цепи при разных частотах

Низкие частоты (ω → 0):

  • Индуктивное сопротивление ωL → 0, ёмкостное сопротивление $\frac{1}{\omega C} \to \infty$.
  • Конденсатор практически «разрывает» цепь. Ток близок к нулю.

Высокие частоты (ω → ∞):

  • Индуктивность препятствует изменению тока: ωL → ∞, а $\frac{1}{\omega C} \to 0$.
  • Индуктивность становится почти обрывом, ток снова убывает.

Резонанс в последовательной RLC-цепи

Резонанс возникает при равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

$$ \omega L = \frac{1}{\omega C} \quad \Rightarrow \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

При резонансе:

  • Импеданс цепи минимален: Z = R
  • Амплитуда тока максимальна: $I_0 = \frac{U_0}{R}$
  • Напряжение на катушке и конденсаторе может значительно превышать напряжение источника
  • Фазовый сдвиг между током и напряжением равен нулю

Качественный фактор (добротность) цепи

Добротность Q характеризует степень резонансности цепи:

$$ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{\omega_0 C R} $$

Для цепи с высокой добротностью:

  • Резонансная кривая имеет узкую форму
  • Энергия слабо теряется на сопротивлении
  • Наблюдается сильный рост напряжений на L и C при резонансе

Мощность в RLC-цепи

Мгновенная мощность:

P(t) = u(t)i(t)

Средняя мощность (в установившемся режиме):

$$ \bar{P} = \frac{U_0 I_0}{2} \cos\varphi $$

Мощность зависит от фазового сдвига. При φ = 0 (резонанс) мощность максимальна. Индуктивность и ёмкость не потребляют средней мощности: они обмениваются энергией с полем.

Энергия в цепи

Энергия магнитного поля в катушке:

$$ W_L = \frac{1}{2} L I^2 $$

Энергия электрического поля в конденсаторе:

$$ W_C = \frac{1}{2} C U_C^2 $$

Энергия колеблется между катушкой и конденсатором. При идеальных условиях (R = 0) возникает незатухающее колебание. При наличии сопротивления происходит постепенное рассеивание энергии в виде тепла.

Временные диаграммы

При анализе формы сигналов важно учитывать фазовый сдвиг:

  • При ω < ω0 ток отстаёт от напряжения (перевес ёмкости)
  • При ω > ω0 ток опережает напряжение (перевес индуктивности)
  • При ω = ω0 ток и напряжение совпадают по фазе

Фазовые диаграммы и векторные представления позволяют наглядно видеть взаимодействие компонентов тока и напряжения.

Параллельная RLC-цепь

Для параллельного соединения компонентов применяется анализ токов и проводимостей. Комплексная проводимость:

$$ Y = \frac{1}{R} + i\omega C - \frac{i}{\omega L} $$

Резонанс наступает, когда мнимая часть Y обращается в нуль:

$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

В этом случае проводимость минимальна, а сопротивление цепи максимально — ток от источника минимален. Однако в ветвях цепи возможны большие токи (резонанс токов).

Практическое значение

RLC-цепи широко применяются для:

  • настройки частот в радиоприёмниках и генераторах
  • фильтрации сигналов
  • подавления помех
  • создания резонансных колебаний в колебательных контурах

Понимание их поведения имеет фундаментальное значение для разработки электронных схем, а также для теоретического анализа электромагнитных процессов.

Оглавление