Дифференциальная форма уравнений Максвелла
В дифференциальной форме первое уравнение Максвелла выражает закон Гаусса для электрического поля:
$$ \boxed{\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}} $$
где:
Это уравнение указывает, что источником электрического поля являются электрические заряды. Дивергенция поля показывает, насколько поле «истекает» из данной точки пространства. Если ρ = 0, то поле E является соленоидальным (без источников), и ∇ ⋅ E = 0.
Второе уравнение Максвелла описывает закон Гаусса для магнитного поля:
$$ \boxed{\nabla \cdot \mathbf{B} = 0} $$
где B — вектор магнитной индукции.
Это уравнение утверждает, что в природе не существует магнитных зарядов (или «магнитных монополей»): линии магнитной индукции всегда замкнуты, и магнитное поле не имеет начала и конца. Дивергенция магнитного поля в любой точке равна нулю, независимо от конфигурации поля.
Третье уравнение Максвелла описывает индукцию электрического поля при изменении магнитного поля:
$$ \boxed{\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}} $$
где:
Это уравнение отражает суть закона электромагнитной индукции Фарадея: переменное во времени магнитное поле порождает вихревое электрическое поле. Такое электрическое поле не может быть описано как градиент скалярного потенциала — оно не является потенциальным. Это фундаментальный механизм, лежащий в основе работы генераторов, трансформаторов и многих других электротехнических устройств.
Четвёртое уравнение Максвелла выражает обобщённый закон Ампера, включающий ток смещения:
$$ \boxed{\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}} $$
где:
Без добавления тока смещения уравнение противоречило бы закону сохранения заряда в случае, например, заряда, накапливающегося на обкладках конденсатора. Благодаря включению этого члена электромагнитное поле становится самосогласованным: изменяющееся электрическое поле создаёт магнитное поле, а изменяющееся магнитное — электрическое.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме строго согласуются с фундаментальным законом сохранения электрического заряда. Применение оператора дивергенции к обеим частям четвёртого уравнения даёт:
$$ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla \cdot (\mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}) $$
Так как дивергенция ротора любого векторного поля тождественно равна нулю, получаем:
$$ 0 = \mu_0 \nabla \cdot \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \cdot \mathbf{E}) $$
Подставляя первое уравнение Максвелла, получаем:
$$ \nabla \cdot \mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 $$
Это — уравнение непрерывности, выражающее сохранение электрического заряда.
Из уравнений Максвелла можно вывести волновое уравнение для электромагнитного поля в вакууме. Например, для электрического поля:
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \mathbf{B}) $$
Используя векторное тождество ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ ⋅ E) − ∇2E и принимая ρ = 0, получаем:
$$ -\nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \quad \Rightarrow \quad \boxed{ \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0 } $$
Это — классическое волновое уравнение с фазовой скоростью:
$$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} $$
Эта скорость равна скорости света в вакууме. Таким образом, уравнения Максвелла предсказывают существование электромагнитных волн, распространяющихся в вакууме со скоростью света, что стало основой электродинамической теории света.
Полный набор уравнений Максвелла в дифференциальной форме:
$$ \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf{E} = \dfrac{\rho}{\varepsilon_0} &\text{(закон Гаусса для } \mathbf{E}\text{)} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} = 0 &\text{(закон Гаусса для } \mathbf{B}\text{)} \\ \nabla \times \mathbf{E} = -\dfrac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} &\text{(закон Фарадея)} \\ \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} &\text{(закон Ампера–Максвелла)} \end{cases} $$
Эти уравнения представляют собой самодостаточную, замкнутую систему, описывающую поведение электрических и магнитных полей в вакууме и веществе. Они лежат в основе всей классической электродинамики и являются краеугольным камнем физики поля.