Скин-эффект — это явление неравномерного распределения переменного тока в поперечном сечении проводника. При высокой частоте ток стремится вытесниться к поверхности проводника, тогда как плотность тока в центральной области становится значительно ниже. Это приводит к уменьшению эффективной площади поперечного сечения, через которую течёт ток, и, как следствие, к увеличению сопротивления проводника по переменному току по сравнению с сопротивлением по постоянному току.
Скин-эффект возникает вследствие индукции вихревых токов в проводнике, вызванной изменяющимся во времени магнитным полем, порождённым самим переменным током. Эти вихревые токи создают магнитное поле, которое, согласно правилу Ленца, противодействует изменению основного поля. В результате плотность тока оказывается максимальной у поверхности и экспоненциально убывает с глубиной.
Рассмотрим длинный цилиндрический проводник радиуса a, по которому течёт гармонический ток с плотностью J⃗(r, t) = J⃗(r)eiωt. Электрическое поле также гармоническое: E⃗(r, t) = E⃗(r)eiωt. Предполагаем, что проводник из однородного линейного материала с удельной проводимостью σ, магнитной проницаемостью μ и диэлектрической проницаемостью ε.
Система уравнений, описывающая распространение поля в проводнике, получается из уравнений Максвелла. В квазистационарном приближении (при больших σ) можно пренебречь смещением и записать:
$$ \nabla \times \vec{H} = \vec{J}, \quad \vec{J} = \sigma \vec{E}, \quad \nabla \times \vec{E} = -\mu \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} $$
Взяв ротор от уравнения Ампера и подставив закон Ома и уравнение Фарадея, получаем волновое уравнение для электрического поля:
∇2E⃗ = iωμσE⃗
Величина $\gamma = \sqrt{i \omega \mu \sigma}$ — это комплексный волновой вектор, связанный со скин-глубиной δ. Решение уравнения показывает, что поле и ток убывают экспоненциально вглубь проводника:
E⃗(r) ∼ e−r/δ, J⃗(r) ∼ e−r/δ
где
$$ \delta = \sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}} $$
называется глубиной скин-слоя. Эта величина характеризует типичную глубину проникновения переменного тока в проводник.
Из выражения для δ следует:
Примеры:
Так как ток концентрируется ближе к поверхности, эффективная площадь поперечного сечения уменьшается, а сопротивление увеличивается. При частоте, значительно превышающей характерную частоту ω0 ∼ 1/τ, сопротивление проводника растёт пропорционально корню из частоты:
$$ R(\omega) \propto \frac{1}{\delta} \propto \sqrt{\omega} $$
Это увеличение сопротивления существенно в высокочастотной технике (радиочастоты, СВЧ). Эффективное сопротивление может в десятки и сотни раз превышать сопротивление постоянному току.
Удобной характеристикой в условиях скин-эффекта является поверхностное сопротивление Rs, определяемое как:
$$ R_s = \frac{1}{\sigma \delta} = \sqrt{\frac{\omega \mu}{2 \sigma}} $$
Оно измеряется в омах на квадратный метр и используется в расчётах потерь в волноводах, антеннах, резонаторах.
Поскольку ток сосредоточен в узкой приповерхностной области, джоулевы потери возрастают. Мощность, рассеиваемая на единице длины проводника:
$$ P = \frac{1}{2} R I_{\text{действ}}^2 $$
где R — эффективное сопротивление на длину, учитывающее скин-эффект. Уменьшение глубины проникновения приводит к увеличению потерь.
Для плоской геометрии (ток вдоль плоской поверхности) и цилиндрической геометрии (ток по проводу круглого сечения) распределения поля различны.
Плоская геометрия:
Плотность тока убывает по нормали z от поверхности:
J(z) = J0e−z/δ
Цилиндрическая геометрия:
Для провода радиуса a, волновое уравнение приводит к решению через функции Бесселя:
$$ J(r) = J_0 \frac{J_0(\gamma r)}{J_0(\gamma a)} $$
где J0 — функция Бесселя нулевого порядка. При больших частотах ток сосредотачивается у поверхности (r ≈ a).
В обычной теории скин-эффекта предполагается, что длина свободного пробега электронов l значительно меньше глубины проникновения δ. Однако при очень низких температурах и в чистых металлах l ≫ δ, и наступает аномальный скин-эффект, при котором классическая модель перестаёт работать. Тогда необходим учет кинетических свойств носителей тока (подход Больцмана, квантовая теория). Распределение тока перестаёт быть экспоненциальным, потери уменьшаются медленнее с ростом частоты.
Скин-эффект тесно связан с проникновением электромагнитных волн в проводящие среды. При рассмотрении волноводов и экранирования важно учитывать, что внутрь хорошего проводника волна практически не проникает — затухание экспоненциальное, и определяет его глубина скин-слоя. Это обосновывает поведение зеркальных отражений в металлах и слабое проникновение радиоволн в металлические среды.
Для меди при σ = 5.8 ⋅ 107 С/м, μ = μ0 = 4π ⋅ 10−7 Гн/м:
| Частота (Гц) | Скин-глубина δ, мм |
|---|---|
| 50 | 9.4 |
| 1 кГц | 2.1 |
| 1 МГц | 0.066 |
| 100 МГц | 0.0066 |
Из таблицы видно, что при переходе к радиочастотному и СВЧ-диапазону ток ограничивается поверхностью толщиной в десятки микрон, а значит, становится критичным в проектировании устройств и выборе конструктивных решений.