Общая характеристика распространения электромагнитных волн
Электромагнитная волна — это процесс взаимосвязанного распространения колебаний электрического и магнитного полей в пространстве. Такие волны описываются уравнениями Максвелла, которые в вакууме приводят к волновым уравнениям для векторов напряжённости электрического поля E и магнитного поля B. Эти волны могут распространяться в вакууме, а также в различных средах, при этом их скорость зависит от свойств среды: электрической проницаемости ε и магнитной проницаемости μ.
Вывод скорости из уравнений Максвелла
Для получения выражения для скорости распространения электромагнитной волны в вакууме рассмотрим уравнения Максвелла без свободных зарядов и токов:
∇ ⋅ E = 0, ∇ ⋅ B = 0,
$$ \nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \quad \nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}. $$
Применим операцию ротора ко второму уравнению:
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = -\frac{\partial}{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}). $$
Используем векторное тождество:
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ ⋅ E) − ∇2E.
Так как ∇ ⋅ E = 0, получаем:
$$ - \nabla^2 \mathbf{E} = -\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}, $$
или:
$$ \nabla^2 \mathbf{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}. $$
Аналогично получается волновое уравнение для B. Это классическое волновое уравнение, описывающее распространение волн со скоростью:
$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. $$
Подставляя значения физических постоянных:
μ0 = 4π × 10−7 Гн/м, ε0 ≈ 8, 854 × 10−12 Ф/м,
получаем:
$$ v = \frac{1}{\sqrt{(4\pi \times 10^{-7})(8{,}854 \times 10^{-12})}} \approx 2{,}998 \times 10^8 \, \text{м/с}. $$
Эта величина соответствует скорости света в вакууме, обозначаемой как c. Таким образом, электромагнитные волны в вакууме распространяются со скоростью света:
$$ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}. $$
Скорость в материальных средах
В материальных средах электромагнитные свойства характеризуются относительными проницаемостями:
ε = εrε0, μ = μrμ0.
Скорость волны в среде:
$$ v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_r \mu_0 \varepsilon_r \varepsilon_0}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}. $$
В диэлектриках, не обладающих магнитной активностью (где μr ≈ 1), скорость определяется в основном относительной диэлектрической проницаемостью:
$$ v \approx \frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}. $$
Скорость электромагнитной волны в среде всегда меньше, чем в вакууме, поскольку εr > 1.
Связь с показателем преломления
Показатель преломления среды n определяется как отношение скорости света в вакууме к скорости света в данной среде:
$$ n = \frac{c}{v} = \sqrt{\mu_r \varepsilon_r}. $$
Для большинства немагнитных сред μr ≈ 1, и тогда:
$$ n \approx \sqrt{\varepsilon_r}. $$
Таким образом, знание показателя преломления позволяет определить скорость электромагнитной волны в данной среде:
$$ v = \frac{c}{n}. $$
Примеры скоростей в различных средах
| Среда | εr | n | v, м/с |
|---|---|---|---|
| Вакуум | 1 | 1 | 2, 998 × 108 |
| Воздух (при н.у.) | ≈1.0006 | ≈1.0003 | ≈ c |
| Вода | ≈80 | ≈8.9 | ≈ 3, 37 × 107 |
| Стекло | ≈4–10 | ≈1.5 | ≈ 2, 0 × 108 |
Физическая природа замедления
Замедление электромагнитных волн в среде связано с взаимодействием поля с зарядами и дипольными моментами молекул вещества. Электрическое поле вызывает смещение электронов, что порождает вторичное поле, частично противофазное исходному. Это приводит к запаздыванию фазы волны и, следовательно, к уменьшению её скорости.
Частотная зависимость скорости: дисперсия
Скорость распространения электромагнитных волн может зависеть от частоты — это явление называется дисперсией. В дисперсионных средах показатель преломления n(ω) зависит от частоты ω. Для таких сред фазовая скорость:
$$ v_f(\omega) = \frac{c}{n(\omega)}, $$
может отличаться от групповой скорости:
$$ v_g = \frac{d\omega}{dk}. $$
Групповая скорость определяет скорость передачи энергии и информации, в то время как фазовая скорость характеризует скорость движения фронта отдельной гармонической компоненты.
Скорость и энергия
Энергия, переносимая электромагнитной волной, связана с вектором Пойнтинга:
S = E × H.
Модуль вектора Пойнтинга в плоской волне:
$$ S = \frac{E^2}{\mu v}, $$
что показывает зависимость плотности потока энергии от скорости распространения волны и параметров среды.
Экспериментальное подтверждение
Скорость света и электромагнитных волн была впервые измерена в опытах Физо, затем уточнена методами Майкельсона. Современные лазерные и радиотехнические методы позволяют измерять скорость света с точностью до миллиардных долей. Совпадение теоретического значения $c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}$ с экспериментальными данными служит убедительным подтверждением теории Максвелла.
Закрепление представлений в СИ
С 1983 года система СИ определяет метр через скорость света: метр — это расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1/299, 792, 458 секунды. Таким образом, значение скорости света в вакууме считается фиксированным и точным:
c = 299, 792, 458 м/с.
Это делает фундаментальное значение скорости электромагнитных волн краеугольным камнем всей современной метрологии.