Свободные колебания в LC-контуре

LC-контур — это замкнутая электрическая цепь, состоящая из индуктивности (катушки с индуктивностью L) и емкости (конденсатора с емкостью C), соединённых друг с другом без активных (резистивных) элементов. При отсутствии сопротивления такой контур является идеальной колебательной системой, в которой происходят свободные электромагнитные колебания — т. е. колебания без внешнего воздействия, существующие за счёт начальной энергии, запасённой в элементах цепи.

Конденсатор способен накапливать электрическую энергию в виде электрического поля между своими обкладками. Индуктивность накапливает магнитную энергию в создаваемом ею магнитном поле. Взаимное преобразование этих двух форм энергии и приводит к возникновению и поддержанию колебательного процесса.

Уравнение свободных колебаний в LC-контуре

Пусть в начальный момент времени t = 0 на обкладках конденсатора имеется заряд q0. Тогда возникает ток в цепи, обусловленный разрядом конденсатора через катушку. Согласно второму закону Кирхгофа (аналог закона сохранения энергии), сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю:

UC + UL = 0

Подставляя выражения для напряжений:

  • $U_C = \frac{q}{C}$
  • $U_L = L \frac{dI}{dt} = L \frac{d^2q}{dt^2}$

получаем:

$$ \frac{q}{C} + L \frac{d^2q}{dt^2} = 0 $$

или в стандартной форме:

$$ \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC}q = 0 $$

Это — дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Оно описывает динамику изменения заряда на обкладках конденсатора. Решением этого уравнения является:

q(t) = q0cos (ωt + ϕ)

где:

  • q0 — амплитуда заряда,
  • $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ — собственная круговая частота свободных колебаний,
  • ϕ — начальная фаза колебаний.

Ток в контуре связан с зарядом соотношением:

$$ I(t) = \frac{dq}{dt} = -q_0 \omega \sin(\omega t + \phi) $$

Таким образом, заряд и ток изменяются во времени по гармоническому закону, сдвинуты по фазе на $\frac{\pi}{2}$, и происходят с неизменной частотой, определяемой параметрами контура.

Энергетические превращения в LC-контуре

Полная энергия контура складывается из энергии электрического поля в конденсаторе и магнитного поля в катушке:

$$ W = W_C + W_L = \frac{q^2(t)}{2C} + \frac{LI^2(t)}{2} $$

Подставляя выражения q(t) и I(t), получаем:

$$ W = \frac{q_0^2}{2C} \cos^2(\omega t + \phi) + \frac{L}{2} q_0^2 \omega^2 \sin^2(\omega t + \phi) $$

С учетом $\omega^2 = \frac{1}{LC}$, вторая слагаемая превращается в:

$$ \frac{L}{2} q_0^2 \cdot \frac{1}{LC} \sin^2(\omega t + \phi) = \frac{q_0^2}{2C} \sin^2(\omega t + \phi) $$

Таким образом, полная энергия:

$$ W = \frac{q_0^2}{2C} \left[ \cos^2(\omega t + \phi) + \sin^2(\omega t + \phi) \right] = \frac{q_0^2}{2C} $$

Эта величина постоянна во времени. Это означает, что в идеальном LC-контуре не происходит потерь энергии, а колебания являются незатухающими. Энергия периодически переходит из одной формы в другую: от электрической энергии в конденсаторе к магнитной в катушке и обратно.

Период и частота свободных колебаний

Период колебаний:

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{LC} $$

Частота:

$$ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} $$

Эти формулы указывают, что параметры LC-контура (его индуктивность и емкость) полностью определяют характер свободных колебаний. Например, увеличение индуктивности или емкости приводит к замедлению колебаний, то есть увеличению их периода.

Фазовые соотношения и графическая интерпретация

Заряд q(t) и ток I(t) синусоидальны и находятся в фазовом сдвиге:

  • Максимальный заряд наблюдается при нулевом токе;
  • Максимальный ток — в момент, когда заряд на обкладках равен нулю.

Графически это выражается в виде синусоидальных кривых, сдвинутых по фазе на $\frac{\pi}{2}$. Заряд и ток изменяются со временем в противоположных фазах: когда один достигает максимума, другой проходит через ноль.

Электромагнитная природа колебаний

Свободные колебания в LC-контуре — это электромагнитные колебания, в которых энергия переходит из электрической формы (энергия заряженного конденсатора) в магнитную (энергия тока в катушке) и обратно. Эти процессы сопровождаются переменным электромагнитным полем внутри и вокруг элементов цепи.

Такие колебания лежат в основе генерации электромагнитных волн, поскольку переменное электромагнитное поле может отрываться от источника и распространяться в пространстве в виде волн — особенно если LC-контур соединён с антенной.

Роль начальных условий

Начальные условия — заряд q0 и начальный ток I0 — определяют амплитуду и фазу колебаний. Если в начальный момент:

  • q(0) = q0, I(0) = 0, то ϕ = 0,
  • q(0) = 0, I(0) = I0, то $\phi = -\frac{\pi}{2}$, $q_0 = \frac{I_0}{\omega}$.

Таким образом, даже если начального заряда нет, но имеется ток, колебания также запускаются, только с другой начальной фазой.

Ограниченность модели идеального LC-контура

В реальных условиях всегда присутствует сопротивление (например, активное сопротивление катушки или проводов), которое приводит к затуханию колебаний. Это требует дополнения модели с учётом резистора (RC- или RLC-контур), что влечёт за собой качественно новое поведение — затухающие колебания или апериодический процесс.

Однако в рамках модели идеального LC-контура колебания рассматриваются как незатухающие и синусоидальные с постоянной амплитудой, что делает этот случай фундаментальной моделью для понимания природы электромагнитных процессов.

Оглавление