Электрическое поле может быть описано двумя основными способами: через напряжённость поля и через электрический потенциал. Напряжённость — векторная величина, характеризующая силу, действующую на единичный положительный заряд в данной точке поля. Потенциал — скалярная величина, определяющая потенциальную энергию единичного положительного заряда в поле. Несмотря на различие в природе этих величин, между ними существует строгая математическая связь.
Пусть заряд q перемещается в электрическом поле из точки A в точку B. Работа, совершаемая электрическим полем, определяется как:
AAB = q ⋅ (φA − φB)
С другой стороны, работа может быть выражена через интеграл от напряжённости:
AAB = q∫ABE ⋅ dl
Сопоставляя оба выражения, получаем:
φA − φB = ∫ABE ⋅ dl
Величина φA − φB называется разностью потенциалов, или напряжением между точками A и B.
Если рассматривать движение вдоль бесконечно малого перемещения dl, то элементарная работа:
dA = qE ⋅ dl
Для единичного заряда q = 1, это:
dA = E ⋅ dl
С другой стороны, элементарная разность потенциалов:
dφ = −E ⋅ dl
Следовательно, напряжённость электрического поля равна отрицательному градиенту потенциала:
E = −∇φ
Знак минус указывает на то, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.
В декартовой системе координат трёхмерного пространства градиент потенциала выражается как:
$$ \mathbf{E} = -\left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \varphi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \varphi}{\partial z} \mathbf{k} \right) $$
То есть:
$$ E_x = -\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial \varphi}{\partial z} $$
Эти формулы позволяют вычислить напряжённость поля, зная распределение потенциала в пространстве.
Поле, в котором напряжённость определяется через градиент потенциала, называется потенциальным. Это свойство электростатического поля:
rot E = ∇ × E = 0
Это означает, что циркуляция вектора напряжённости по замкнутому контуру равна нулю:
∮E ⋅ dl = 0
Таким образом, работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от траектории и зависит только от начальной и конечной точек, что позволяет корректно определить скалярную функцию потенциала.
Так как E = −∇φ, то:
Это означает, что перемещение вдоль эквипотенциальной поверхности не связано с работой поля, поскольку dφ = 0, и, следовательно, E ⋅ dl = 0.
Потенциал точечного заряда q на расстоянии r от него:
$$ \varphi(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r} $$
Тогда напряжённость:
$$ \mathbf{E} = -\nabla \varphi = -\frac{d\varphi}{dr} \cdot \mathbf{e}_r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} \cdot \mathbf{e}_r $$
где er — единичный вектор, направленный от заряда.
Таким образом, мы видим, что выражение через градиент даёт нам знакомое из закона Кулона направление и величину напряжённости поля.
Если известно распределение вектора E в пространстве, то потенциал можно найти, выбрав произвольную точку с нулевым потенциалом (или любым другим известным значением) и вычислив:
φ(r) = −∫r0rE ⋅ dl
Так как электростатическое поле потенциально, результат не зависит от пути интегрирования.
Отрицательный знак в E = −∇φ отражает тот факт, что поле «толкает» положительный заряд из области с большим потенциалом в область с меньшим. Направление напряжённости совпадает с направлением убывания потенциальной энергии положительного заряда, что соответствует спонтанному (естественному) движению заряда в поле.
В случае симметричных полей, например, сферической симметрии, цилиндрической или плоской, связь между φ и E упрощается. Например, при сферической симметрии:
$$ E(r) = -\frac{d\varphi}{dr} $$
Аналогично в других системах координат можно использовать соответствующие компоненты градиента.
Электрический потенциал — скаляр, определяющий потенциальную энергию единичного положительного заряда.
Напряжённость — вектор, равный силе, действующей на единичный положительный заряд.
Связь между ними:
E = −∇φ
Электростатическое поле — потенциальное, т.е.:
∮E ⋅ dl = 0, ∇ × E = 0
Линии напряжённости всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Эти положения являются фундаментом для дальнейшего изучения электрических полей, анализа распределения зарядов, а также перехода к электрическим цепям и потенциалам в проводниках.