Формулировка теоремы Гаусса
Теорема Гаусса утверждает, что поток вектора электрической индукции D через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме свободных зарядов, заключённых внутри этой поверхности:
$$ \oint\limits_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{св}} $$
В терминах электрического поля E (в вакууме или однородной изотропной среде), теорема принимает вид:
$$ \oint\limits_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} Q_{\text{вн}} $$
где
Это — одна из четырёх фундаментальных уравнений Максвелла в интегральной форме и фундаментальный закон электростатики.
Физический смысл
Теорема Гаусса даёт способ вычисления электрического поля, создаваемого зарядами, через анализ потока этого поля сквозь воображаемую замкнутую поверхность. Поток вектора E зависит только от зарядов, находящихся внутри этой поверхности. Заряды вне замкнутой поверхности не влияют на значение потока.
Положительный заряд создаёт направленный наружу поток поля; отрицательный — внутрь. Если суммарный заряд внутри поверхности равен нулю, то и поток поля через поверхность будет равен нулю.
Математическое обоснование
В основе теоремы лежит дивергенция вектора поля и интегральная теорема Гаусса–Остроградского, связывающая поток векторного поля через замкнутую поверхность с объёмным интегралом от дивергенции этого поля:
$$ \oint\limits_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_V (\nabla \cdot \mathbf{E}) \, dV $$
Согласно закону Кулона, электрическое поле точечного заряда имеет дивергенцию:
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
где ρ — объёмная плотность электрического заряда. Тогда подставляя в формулу:
$$ \oint\limits_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \iiint\limits_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \, dV = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint\limits_V \rho \, dV = \frac{Q_{\text{вн}}}{\varepsilon_0} $$
Применение теоремы Гаусса
Главное достоинство теоремы Гаусса — возможность упростить расчёт электрического поля в симметричных задачах. В случаях высокой симметрии (сферической, цилиндрической, плоской), выбор соответствующей гауссовой поверхности позволяет вычислить поле без использования интегрирования по заряженному объёму.
1. Сферическая симметрия
Рассмотрим точечный заряд q в вакууме. В качестве гауссовой поверхности выберем сферу радиуса r с центром в заряде. В этом случае поле везде одинаково по модулю и направлено радиально:
$$ \oint\limits_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = E(r) \cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E(r) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} $$
что совпадает с законом Кулона.
2. Цилиндрическая симметрия
Для бесконечной прямолинейной заряженной нити с линейной плотностью заряда λ, выбираем в качестве гауссовой поверхности коаксиальный цилиндр радиуса r и длины L:
$$ \oint\limits_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = E \cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r} $$
3. Плоская симметрия
Для бесконечно широкой равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью σ, выберем гауссову поверхность в виде цилиндра (пилюли), пересекающего плоскость. Поток будет идти через обе плоские крышки:
$$ \oint\limits_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = 2 E S = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \quad \Rightarrow \quad E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} $$
Вектор электрического смещения D и теорема Гаусса в среде
В присутствии диэлектрика удобно использовать вектор электрического смещения:
D = ε0E + P
где P — вектор поляризации среды. Тогда дифференциальная форма теоремы Гаусса:
∇ ⋅ D = ρсв
где ρсв — объёмная плотность свободных зарядов. Интегральная форма:
$$ \oint\limits_S \mathbf{D} \cdot d\mathbf{S} = Q_{\text{св}} $$
Это важное отличие: поле E зависит от всех зарядов, включая связанные, а поле D учитывает только свободные заряды.
Границы применимости
Теорема Гаусса всегда справедлива как в интегральной, так и в дифференциальной формах. Однако её практическое применение ограничено случаями, где можно выбрать гауссову поверхность, на которой поле либо постоянно, либо направлено удобно для вычисления скалярного произведения E ⋅ dS.
В более сложных геометриях, не обладающих высокой симметрией, расчёт поля с помощью теоремы Гаусса становится затруднительным или невозможным без дополнительных методов.
Связь с уравнениями Максвелла
Теорема Гаусса — первое из четырёх фундаментальных уравнений Максвелла в интегральной форме:
$$ \oint\limits_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0} \iiint\limits_V \rho \, dV $$
Соответствующая дифференциальная форма:
$$ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} $$
Эти уравнения отражают локальную и глобальную связь между распределением зарядов и возникающим электрическим полем, выражая фундаментальное свойство: заряды — источники электрического поля.
Метод Гаусса и его роль в электростатике
Метод Гаусса представляет собой один из важнейших приёмов электростатики. Он используется не только для упрощения расчётов, но и для понимания свойств электростатических полей. Теорема Гаусса особенно эффективна при решении задач, связанных с симметричными конфигурациями, проводниками, диэлектриками, границами раздела сред и экранирующими эффектами.