Теорема о циркуляции магнитного поля

Формулировка теоремы

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B⃗ (или просто теорема о циркуляции магнитного поля) утверждает, что циркуляция вектора магнитной индукции вдоль произвольного замкнутого контура пропорциональна алгебраической сумме токов, пронизывающих этот контур.

В математической форме это выражается следующим образом:

$$ \oint\limits_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{вн}} $$

где:

  • $\oint\limits_L \vec{B} \cdot d\vec{l}$ — циркуляция магнитной индукции вдоль замкнутого пути L,
  • μ0 — магнитная постоянная (проницаемость вакуума), μ0 = 4π ⋅ 10−7 Гн/м,
  • Iвн — полный ток, проходящий через поверхность, натянутую на контур L.

Физический смысл

Циркуляция вектора B⃗ вдоль замкнутого контура отражает меру «вихревого характера» магнитного поля: магнитное поле всегда замкнуто и не имеет источников (в отличие от электрического, которое может исходить из зарядов). Теорема подчеркивает, что магнитное поле создаётся токами и замкнуто вокруг них.

Связь с законом Био–Савара–Лапласа

Закон Био–Савара–Лапласа описывает магнитную индукцию B⃗, создаваемую током в каждой точке пространства. Теорема о циркуляции — это интегральная форма закона, когда вместо конкретного расчета поля от каждого элементарного участка тока рассматривается его суммарное влияние вдоль замкнутого пути.

Вывод теоремы на основе закона Био–Савара–Лапласа

Рассмотрим магнитную индукцию B⃗, создаваемую проводником с током I. По закону Био–Савара–Лапласа:

$$ \vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{I \, d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} $$

Вычислим циркуляцию B⃗ по произвольному замкнутому контуру:

$$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint \left( \int \frac{I \, d\vec{l}' \times \vec{r}}{r^3} \right) \cdot d\vec{l} $$

В результате двойного интегрирования и с учётом симметрии, получается выражение:

∮B⃗ ⋅ dl⃗ = μ0Iвн

что и есть формулировка теоремы о циркуляции.

Интерпретация через ротор (дифференциальная форма)

С помощью теоремы Стокса, интегральная форма может быть приведена к дифференциальной форме:

$$ \oint\limits_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \iint\limits_S (\nabla \times \vec{B}) \cdot d\vec{S} $$

Следовательно:

∇ × B⃗ = μ0j⃗

где j⃗ — плотность тока.

Эта формула называется одним из уравнений Максвелла в статике, а также законом Ампера в дифференциальной форме. Она утверждает, что ротор магнитного поля равен произведению магнитной постоянной на плотность тока.

Применение теоремы: симметричные задачи

Важным следствием теоремы о циркуляции является возможность применять её для нахождения магнитной индукции в системах с высокой степенью симметрии. В таких случаях вектор B⃗ на всём контуре имеет одинаковую величину и постоянное направление относительно контура, что позволяет существенно упростить вычисления.

Примеры применения

  1. Прямолинейный бесконечно длинный проводник с током I

    Выбираем в качестве контура окружность радиуса r, центр которой лежит на оси проводника. Направление B⃗ касательно к окружности, и его величина постоянна по окружности. Тогда:

    $$ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \cdot 2\pi r = \mu_0 I \Rightarrow B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} $$

  2. Магнитное поле внутри бесконечного соленоида

    Внутри идеального бесконечного соленоида магнитное поле однородно и направлено вдоль оси. Вне соленоида — поле пренебрежимо мало.

    Пусть n — число витков на единицу длины, тогда:

    ∮B⃗ ⋅ dl⃗ = B ⋅ l = μ0nIl ⇒ B = μ0nI

  3. Магнитное поле внутри и вне токового кольца (ток в круговом проводнике)

    Здесь симметрия не столь высокая, и прямое применение теоремы о циркуляции затруднено. В этом случае часто используется суперпозиция или численные методы, либо интегральная форма закона Био–Савара–Лапласа.

Особенности и ограничения

  • Теорема о циркуляции применяется только в стационарных магнитных полях, то есть при неизменяющихся со временем токах. При наличии переменных электрических полей в уравнение Ампера вводится добавка Максвелла:

    $$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$

    Здесь ε0 — электрическая постоянная.

  • Циркуляция B⃗ определяется исключительно токами, пронизывающими поверхность, натянутую на контур, но не зависит от токов, находящихся вне этой поверхности.

  • Замкнутость магнитных силовых линий следует непосредственно из теоремы: если в некоторой области пространства нет токов, то циркуляция B⃗ равна нулю, следовательно, линии магнитной индукции замкнуты и не имеют начала и конца.

Графическая иллюстрация и визуализация

Визуально теорема о циркуляции представляется как следование магнитных силовых линий вокруг токов. Если ток направлен вдоль оси, то магнитное поле образует концентрические окружности в плоскости, перпендикулярной току. Это направление определяется по правилу правого винта: если направление большого пальца совпадает с направлением тока, то остальные пальцы показывают направление B⃗.

Связь с экспериментом Ампера

Андре-Мари Ампер первым экспериментально установил, что магнитное поле создаётся токами. Его исследования послужили основой для формулировки как закона взаимодействия токов, так и теоремы о циркуляции. Позднее эти результаты были обобщены Максвеллом в систему уравнений, описывающих электромагнитное поле.

Значение в теоретической и прикладной физике

Теорема о циркуляции магнитного поля является краеугольным камнем в изучении магнитного поля. Её практическое значение огромно: она лежит в основе анализа магнитных цепей, построения электромагнитных устройств (электромагниты, трансформаторы, соленоиды, реле), а также анализа токов в сложных системах.

В более широком контексте, через систему уравнений Максвелла, эта теорема становится неотъемлемой частью описания электродинамики и электромагнитных волн.

Оглавление