При анализе переменных токов и связанных с ними электромагнитных явлений было замечено, что в некоторых случаях стандартное применение закона Ампера приводит к противоречиям. Рассмотрим, например, процесс зарядки плоского конденсатора. Через проводник, подключённый к одной из обкладок, течёт ток проводимости. Однако в диэлектрике между обкладками тока в обычном смысле нет. Тем не менее, магнитное поле, создаваемое током в проводах, распространяется в область между обкладками, как если бы ток продолжался и внутри диэлектрика. Для согласования этих наблюдений Джеймс Клерк Максвелл ввёл понятие тока смещения.
Классическая формулировка закона Ампера для стационарных токов гласит:
$$ \oint\limits_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_\text{прох} $$
где Iпрох — полный ток проводимости, проходящий через поверхность, ограниченную контуром интегрирования. Однако в случае зарядки конденсатора, при выборе различной поверхности, ограниченной одним и тем же контуром, можно получить разные значения правой части: одну — с током в проводах, другую — без него (если поверхность проведена между обкладками). Это означает, что классическая форма закона несовместима с переменными токами.
Максвелл предложил модифицировать уравнение, введя дополнительный член — ток смещения Iсмещ, чтобы восстановить непрерывность магнитного поля:
$$ \oint\limits_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( I_\text{прох} + I_\text{смещ} \right) $$
Током смещения называют величину, пропорциональную скорости изменения электрического поля во времени. Он определяется как:
$$ I_\text{смещ} = \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} $$
где ΦE = ∫SE⃗ ⋅ dS⃗ — поток вектора электрического поля через поверхность, натянутую на контур. В дифференциальной форме плотность тока смещения записывается как:
$$ \vec{j}_\text{смещ} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$
Таким образом, плотность тока смещения зависит от времени изменения электрического поля. В отличие от тока проводимости, ток смещения не связан с переносом зарядов и не вызывает тепловых эффектов. Он является понятием, введённым для сохранения непрерывности уравнений электромагнитного поля.
Пусть к плоскому конденсатору подключён источник переменного тока. Электрическое поле между обкладками конденсатора изменяется во времени. При этом в проводах течёт ток проводимости:
$$ I = \frac{dq}{dt} $$
Поскольку заряд на обкладках создаёт электрическое поле, равномерно распределённое между ними, то ток смещения в диэлектрике между обкладками можно выразить как:
$$ I_\text{смещ} = \varepsilon_0 \frac{d}{dt} \left( E \cdot A \right) = \varepsilon_0 A \frac{dE}{dt} $$
где A — площадь обкладки, E — напряжённость поля между пластинами. С учётом связи $E = \frac{q}{\varepsilon_0 A}$, получаем:
$$ I_\text{смещ} = \frac{dq}{dt} = I $$
Таким образом, ток смещения численно равен току проводимости, что гарантирует непрерывность магнитного поля по закону Ампера с добавленным членом тока смещения.
Хотя ток смещения не связан с движением реальных зарядов, его эффект на магнитное поле идентичен эффекту тока проводимости. Это особенно важно в случаях, когда электрическое поле изменяется во времени — в частности, в вакууме, где отсутствуют носители тока, но может существовать изменяющееся поле. Именно это наблюдается при распространении электромагнитных волн: переменное электрическое поле порождает ток смещения, который, в свою очередь, создаёт переменное магнитное поле.
Обобщённая форма уравнения Ампера — одно из уравнений Максвелла:
$$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$
Правая часть содержит два слагаемых: первый — ток проводимости, второй — ток смещения. Эта формула обеспечивает согласованность с уравнением непрерывности, выражающим закон сохранения электрического заряда:
$$ \nabla \cdot \vec{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0 $$
Без добавления члена тока смещения уравнение Максвелла противоречило бы этому фундаментальному закону.
В реальных диэлектриках, помимо вакуумного тока смещения, следует учитывать также вклад поляризационных токов. Тогда полная плотность тока смещения в веществе выражается как:
$$ \vec{j}_\text{смещ} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} $$
где D⃗ = ε0E⃗ + P⃗ — вектор электрического смещения. Это означает, что изменения поляризации вещества также вносят вклад в ток смещения.
Наличие тока смещения — ключевой элемент в выводе уравнений электромагнитных волн. В отсутствие свободных токов и зарядов (например, в вакууме), система уравнений Максвелла принимает вид:
$$ \begin{cases} \nabla \cdot \vec{E} = 0 \\ \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{cases} $$
Отсюда выводятся волновые уравнения для E⃗ и B⃗:
$$ \nabla^2 \vec{E} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = 0 \quad \text{и} \quad \nabla^2 \vec{B} - \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} = 0 $$
Таким образом, переменное электрическое поле через ток смещения создаёт магнитное поле, а магнитное — в свою очередь, индуцирует электрическое. Именно благодаря этому механизму возможна самораспространяющаяся волна — электромагнитная.
Плотность тока смещения имеет те же размерности, что и плотность тока проводимости: [A/м²]. Для вакуума:
$$ \vec{j}_\text{смещ} = \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$
Постоянная ε0 ≈ 8, 85 × 10−12 Ф/м, поэтому даже при довольно высоких скоростях изменения поля величина тока смещения остаётся относительно небольшой. Однако при высокочастотных процессах, таких как в радиотехнике или микроволновых системах, его вклад становится значительным.
В цепях переменного тока при высоких частотах ёмкостные и индуктивные элементы становятся существенными. Конденсатор не пропускает постоянный ток, но при переменном напряжении через него «течёт» ток смещения, создающий магнитное поле. Это позволяет рассматривать конденсатор как элемент цепи, через который осуществляется передача энергии. В этом контексте ток смещения играет роль, аналогичную току проводимости.
Ток смещения — не просто удобный математический приём. Это фундаментальное физическое понятие, необходимое для описания согласованного поведения электрического и магнитного полей. Без него невозможно ни объяснить распространение электромагнитных волн, ни построить полную систему уравнений Максвелла. Именно благодаря включению тока смещения электродинамика становится целостной и логически непротиворечивой теорией.