Ускоренно движущийся заряд

Электромагнитное поле ускоренно движущегося заряда

Электростатическое поле создаётся неподвижным зарядом и описывается законом Кулона. При равномерном прямолинейном движении точечного заряда с постоянной скоростью его поле преобразуется согласно преобразованиям Лоренца, но сохраняет центральную симметрию в собственной системе отсчёта и не вызывает излучения. Поле такого заряда можно рассчитать при помощи потенциалов Лиенара–Вихерта, но в отсутствие ускорения излучения не возникает.

Природа электромагнитного излучения

Ускорение заряда является необходимым условием для возникновения электромагнитного излучения. При любом изменении скорости (величины или направления) вокруг заряда возникает переменное электромагнитное поле, которое распространяется в пространстве в виде волны.

Физическая причина излучения — нарушение сферической симметрии и несогласованность деформации электрического поля при ускорении. Возникает переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, индуцирует переменное электрическое поле — и таким образом распространяется электромагнитное возмущение.

Потенциалы Лиенара–Вихерта

Пусть имеется точечный заряд q, движущийся по произвольной траектории r_q(t). Потенциалы, создаваемые этим зарядом в произвольной точке пространства, определяются с учётом запаздывания сигнала (поскольку электромагнитные взаимодействия распространяются со скоростью света):

$$ \varphi(\mathbf{r}, t) = \left[ \frac{q}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c) R} \right]_{\text{зап}} $$

$$ \mathbf{A}(\mathbf{r}, t) = \left[ \frac{q \mathbf{v}/c}{(1 - \mathbf{n} \cdot \mathbf{v}/c) R} \right]_{\text{зап}} $$

где:

v — скорость заряда в момент времени запаздывания t′,
$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t')|}$ — единичный вектор от положения заряда к точке наблюдения,
R = |r − r_q(t′)|,
выражение берётся при запаздывающем времени t′, определяемом из условия $t' + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_q(t')|}{c} = t$.

Поля ускоренно движущегося заряда

Из потенциалов Лиенара–Вихерта можно получить электрическое и магнитное поля. Они включают два слагаемых: одно, убывающее как 1/R², соответствует полю, связанному с движением заряда (общее поле), а второе, убывающее как 1/R, отвечает за излучение. Последнее появляется только при наличии ускорения:

$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_{\text{движ}} + \mathbf{E}_{\text{изл}}, \qquad \mathbf{H} = \frac{1}{c} \mathbf{n} \times \mathbf{E} $$

Излучающее поле определяется выражением:

$$ \mathbf{E}_{\text{изл}} = \left[ \frac{q}{c^2 R} \mathbf{n} \times \left( \mathbf{n} \times \dot{\mathbf{v}} \right) \right]_{\text{зап}} $$

где $\dot{\mathbf{v}}$ — ускорение заряда.

Свойства излучения

Только поперечные компоненты ускорения создают излучение. Продольное ускорение (вдоль n) не вносит вклад.
Излучающее поле убывает как 1/R, тогда как кулоновское — как 1/R². Поэтому на больших расстояниях преобладает излучение.
Магнитное поле излучения определяется из электрического по правилу: H = n × E.
Электрическое и магнитное поля излучения ортогональны друг другу и направлены перпендикулярно к направлению распространения волны.

Угловое распределение излучения

Интенсивность электромагнитного излучения на большом расстоянии от заряда определяется вектором Пойтинга:

$$ \mathbf{S} = \frac{c}{4\pi} \mathbf{E} \times \mathbf{H} $$

Подставляя выражения для полей, получаем:

$$ S = \frac{q^2}{4\pi c^3 R^2} \left| \mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \dot{\mathbf{v}}) \right|^2 = \frac{q^2}{4\pi c^3 R^2} \dot{v}^2 \sin^2\theta $$

где θ — угол между направлением ускорения и направлением наблюдения.

Таким образом, максимальное излучение наблюдается в направлении, перпендикулярном ускорению, и нулевое — вдоль ускорения.

Полная мощность излучения (формула Лармора)

Полная энергия, излучаемая ускоряющимся зарядом, определяется интегрированием плотности потока Пойтинга по сфере радиуса R. В результате получается формула:

$$ P = \frac{2}{3} \frac{q^2 \dot{v}^2}{c^3} $$

Это выражение известно как формула Лармора (для нерелятивистского движения). В релятивистском случае она обобщается с учётом преобразований Лоренца.

Пример: круговое движение заряда

При равномерном круговом движении заряд имеет постоянную по модулю, но направленную по кругу ускорение (центростремительное). Такое движение сопровождается непрерывным излучением, что, например, наблюдается в синхротронах.

Излучение распространяется в виде веера, преимущественно в направлении, близком к касательной траектории (при больших скоростях — вплоть до узкого пучка). Это называется синхротронное излучение.

Замедление ускоренного заряда: радиационная реакция

Поскольку заряд излучает энергию, это должно приводить к уменьшению его механической энергии. Для описания этого явления вводится понятие силы радиационного трения, которая действует на сам заряд:

$$ \mathbf{F}_{\text{изл}} = \frac{2}{3} \frac{q^2}{c^3} \ddot{\mathbf{v}} $$

Эта сила зависит от производной ускорения (т.е. «рывка») и учитывается в уравнениях движения при рассмотрении тонких эффектов в электродинамике.

Классическое и квантовое излучение

Классическая теория справедлива при малых энергиях и длинных волнах. Однако при высоких частотах, малых масштабах (атомных и субатомных), излучение квантуется: энергия передаётся дискретными порциями — фотонами. Тем не менее, классическая теория ускоренного заряда даёт фундаментальное понимание многих макроскопических явлений.

Примеры и приложения

Антенны: ускоренное движение зарядов в антенне (переменный ток) создаёт направленное электромагнитное излучение.
Рентгеновская трубка: тормозное излучение (бронстрелунг) — результат ускоренного (затормаживаемого) электрона вблизи ядра.
Астрофизика: излучение заряженных частиц в магнитных полях звёзд, пульсаров и аккреционных дисков — важный источник информации о космосе.

Ускоренно движущийся заряд является центральным объектом в электродинамике, связывая фундаментальные уравнения Максвелла с наблюдаемыми проявлениями электромагнитного излучения.