В классической электродинамике под вихревым электрическим полем понимается такое поле, силовые линии которого замкнуты, а источник его возникновения — переменное магнитное поле. Это отличие от электростатического поля, силовые линии которого всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
Согласно опыту Фарадея, при изменении магнитного потока через замкнутый проводящий контур в нём индуцируется электрический ток. Это означает, что в проводнике появляется электрическое поле, способное приводить заряды в движение. Это поле не может быть потенциальным, поскольку работа по замкнутому пути не равна нулю. Следовательно, оно — вихревое.
Закон Фарадея в интегральной форме выражается следующим образом:
$$ \oint_{\mathcal{C}} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt} $$
где:
Левая часть — циркуляция электрического поля по замкнутому контуру. Если магнитный поток через этот контур меняется, то возникает электрическое поле, циркуляция которого отлична от нуля. Это и есть вихревое электрическое поле.
В дифференциальной форме закон Фарадея записывается как:
$$ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$
Это одно из уравнений Максвелла, показывающее, что ротор (вихрь) электрического поля связан со скоростью изменения магнитного поля во времени.
Электростатическое поле создаётся неподвижными зарядами. Его основное свойство:
∇ × E⃗стат = 0
То есть электростатическое поле не имеет вихрей, его силовые линии — незамкнутые и направлены от положительных зарядов к отрицательным. В таком поле можно ввести понятие потенциала: E⃗ = −∇φ.
Для вихревого электрического поля, наоборот:
Таким образом, вихревое электрическое поле не может быть выражено через скалярный потенциал.
Если через некоторую площадь, ограниченную замкнутым контуром, начинает меняться магнитный поток (например, увеличивается или уменьшается магнитная индукция), в пространстве вокруг возникает электрическое поле. Это поле существует даже в вакууме, без проводников, и действует на любые заряды, находящиеся в данной области.
Поскольку ∮E⃗ ⋅ dl⃗ ≠ 0, возникает замкнутая циркуляция электрического поля, аналогичная течению жидкости по замкнутому кольцу. Такая картина возможна только при наличии переменного магнитного поля.
Это явление лежит в основе многих технических устройств: трансформаторов, генераторов, индукционных печей и пр.
В вакууме вихревое поле возникает исключительно из-за изменения магнитного поля во времени. Однако в веществе (например, в проводнике) вихревое поле может приводить к протеканию индукционного тока. Сила этого тока зависит от сопротивления проводника, его геометрии и скорости изменения магнитного потока.
Если контур неподвижен, а магнитное поле меняется, то вихревое поле создаёт ЭДС индукции. Если же магнитное поле стационарно, но контур движется, то ЭДС возникает за счёт силы Лоренца. В обоих случаях, с точки зрения поля, в проводнике возникает вихревое электрическое поле.
Направление вихревого электрического поля (и индуцированного тока) определяется правилом Ленца: возникающее электрическое поле создаёт ток, магнитное поле которого стремится компенсировать изменение исходного магнитного потока.
Это является следствием закона сохранения энергии. Иначе говоря, природа «сопротивляется» любым изменениям магнитного поля, создавая индукционное поле, направленное против причины этих изменений.
Математически знак «минус» в уравнении Фарадея отвечает именно за этот эффект: он указывает, что направление циркуляции поля противоположно направлению роста магнитного потока.
Хотя вихревое электрическое поле не является потенциальным, оно способно совершать работу. Например, в генераторе или трансформаторе оно совершает работу по перемещению зарядов, обеспечивая передачу энергии от магнитного поля к электрическим токам.
Энергия, запасённая в магнитном поле, при его изменении может преобразовываться в электрическую, благодаря существованию вихревого электрического поля. Это один из фундаментальных механизмов переноса и преобразования энергии в природе.
Вихревое электрическое поле тесно связано с другим явлением: переменное электрическое поле может порождать вихревое магнитное поле. Это — обратный процесс, описываемый другим уравнением Максвелла:
$$ \nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{j} + \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} $$
Таким образом, переменные электрические и магнитные поля способны взаимно порождать друг друга. Это фундаментальное свойство лежит в основе распространения электромагнитных волн.
Рассмотрим круговую петлю, через которую проходит магнитный поток, изменяющийся во времени. Тогда на границе этой петли (по окружности) возникает вихревое электрическое поле, направление которого определяется по правилу Ленца. При этом:
Такое поле можно зафиксировать даже в отсутствии проводника — например, с помощью зарядов, находящихся вблизи изменяющегося магнитного поля: они будут двигаться под действием вихревого поля, несмотря на отсутствие внешнего источника ЭДС.
Основные уравнения, описывающие вихревое электрическое поле:
Интегральная форма закона Фарадея:
$$ \oint_{\mathcal{C}} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d}{dt} \int_{\mathcal{S}} \vec{B} \cdot d\vec{S} $$
Дифференциальная форма:
$$ \nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} $$
Вихревое электрическое поле является неотъемлемой частью полной картины электромагнитного взаимодействия, определяющей динамику полей и зарядов в любой среде. Это ключевое понятие в электромагнетизме, отражающее глубокую симметрию уравнений Максвелла и фундаментальные законы природы.