Магнитный момент и взаимодействие с магнитным полем
Рассмотрим замкнутый проводящий контур с током I, находящийся в однородном магнитном поле B⃗. На каждый элемент провода длиной dl⃗ со стороны магнитного поля действует сила Лоренца:
dF⃗ = I dl⃗ × B⃗
Суммарная сила, действующая на весь контур, равна нулю, если поле однородно, однако момент этих сил относительно какой-либо оси, как правило, не равен нулю. Этот момент и называется вращающим моментом.
Введём вектор магнитного момента p⃗m контура с током, определяемый выражением:
p⃗m = IS⃗
где S⃗ — вектор, численно равный площади контура и направленный по нормали к его поверхности в соответствии с правилом правого винта (если обойти контур по направлению тока, то большой палец правой руки, указывающий вверх, задаёт направление S⃗).
В однородном магнитном поле на контур с током действует механический момент сил Ампера:
M⃗ = p⃗m × B⃗
Физический смысл вращающего момента
Вектор p⃗m стремится ориентироваться по направлению вектора магнитной индукции B⃗, аналогично тому, как вектор магнитного момента постоянного магнита стремится совместиться с вектором внешнего поля. Таким образом, система обладает потенциальной энергией:
W = −p⃗m ⋅ B⃗ = −pmBcos θ
где θ — угол между p⃗m и B⃗. Минимум потенциальной энергии достигается при θ = 0, то есть когда вектор магнитного момента направлен вдоль магнитного поля.
Пример: прямоугольная рамка с током
Пусть прямоугольная рамка со сторонами a и b, по которой течёт ток I, находится в однородном магнитном поле. Рамка может свободно вращаться вокруг одной из своих сторон. Сила, действующая на каждую сторону рамки, определена через:
F⃗ = I l⃗ × B⃗
Для противоположных сторон рамки силы направлены в противоположные стороны, но не лежат на одной линии, поэтому создают вращающий момент. Момент этих сил относительно оси вращения равен:
M = IabBsin θ = pmBsin θ
где ab = S, площадь рамки, а θ — угол между нормалью к рамке и направлением поля.
Связь с уравнением вращательного движения
Если рамка может вращаться, то под действием момента M⃗ она будет изменять свою ориентацию. Согласно второму закону динамики вращательного движения:
$$ \vec{M} = I_r \frac{d^2\theta}{dt^2} $$
где Ir — момент инерции рамки относительно оси вращения. Подстановка выражения для M⃗ даёт дифференциальное уравнение:
$$ p_m B \sin\theta = I_r \frac{d^2\theta}{dt^2} $$
Это уравнение аналогично уравнению движения математического маятника, и, следовательно, рамка будет совершать колебания относительно положения равновесия θ = 0, где p⃗m и B⃗ сонаправлены.
Векторная модель магнитного диполя
Контур с током можно представить как магнитный диполь. Аналогично электрическому диполю с дипольным моментом p⃗, помещённому во внешнее электрическое поле E⃗, магнитный диполь с моментом p⃗m во внешнем магнитном поле B⃗ испытывает момент:
M⃗ = p⃗m × B⃗
Таким образом, можно рассматривать контур с током как элементарный источник магнитного поля, аналогичный точечному диполю.
Энергия взаимодействия магнитного момента с полем
Потенциальная энергия контура с током в магнитном поле:
W = −p⃗m ⋅ B⃗
Это выражение указывает, что стабильное равновесие достигается, когда p⃗m и B⃗ сонаправлены (минимум энергии), а неустойчивое — при противоположных направлениях (максимум энергии).
Применения: электродвигатели и измерительные приборы
Принцип действия вращающего момента лежит в основе работы простейших электродвигателей. В роторе (рамке) протекает ток, взаимодействующий с магнитным полем статора. Возникающий вращающий момент заставляет ротор вращаться. Постоянное изменение направления тока в роторе (например, с помощью коллектора) обеспечивает устойчивое вращение.
В измерительных приборах, таких как гальванометры, используется рамка с током, подвешенная на пружине. Под действием тока рамка поворачивается в магнитном поле, а угол поворота пропорционален току. Противодействие упругости пружины устанавливает равновесное положение.
Случай неоднородного магнитного поля
Если магнитное поле неоднородно, то помимо момента, действующего на магнитный момент, появляется также результирующая сила, стремящаяся переместить контур в область более сильного поля:
F⃗ = ∇(p⃗m ⋅ B⃗)
Эта сила лежит в основе явления магнитной левитации и притягивания ферромагнитных материалов в магнитных ловушках.
Обобщение для произвольных токораспределений
Если ток распределён в пространстве произвольно (например, в макроскопических телах или молекулах), то магнитный момент определяется интегралом:
$$ \vec{p}_m = \frac{1}{2} \int \vec{r} \times \vec{j}(\vec{r})\, dV $$
где j⃗(r⃗) — плотность тока. Это определение используется в теоретической физике, например, при расчётах атомных и ядерных магнитных моментов.
Сравнение с механическим моментом инерции и угловым моментом
Магнитный момент играет роль, аналогичную моменту импульса в механике. В квантовой механике связь между угловым моментом L⃗ и магнитным моментом выражается через гиромагнитное отношение:
p⃗m = γL⃗
где γ — гиромагнитное отношение. Это соотношение лежит в основе экспериментов по ядерному и электронному магнитному резонансу.
Итоговые выражения
Момент сил, действующий на контур с током в магнитном поле:
M⃗ = p⃗m × B⃗
Потенциальная энергия взаимодействия:
W = −p⃗m ⋅ B⃗
Сила в неоднородном поле:
F⃗ = ∇(p⃗m ⋅ B⃗)
Магнитный момент плоского контура:
p⃗m = IS⃗
Эти формулы являются фундаментальными в описании электромагнитных взаимодействий и лежат в основе действия множества электротехнических устройств и физических явлений.