Вынужденные колебания в RLC-контуре

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Рассмотрим последовательный RLC-контур, содержащий активный резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор ёмкостью C, соединённые последовательно и находящиеся под действием внешнего гармонического источника ЭДС:

ℰ(t) = ℰ0cos (ωt)

Применяя закон Кирхгофа, получаем уравнение напряжений:

$$ L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t) $$

Здесь q(t) — заряд на конденсаторе, $I = \frac{dq}{dt}$ — ток в цепи. Подставляя $I = \frac{dq}{dt}$, получим дифференциальное уравнение второго порядка:

$$ L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = \mathcal{E}_0 \cos(\omega t) $$

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение описывает поведение вынужденных колебаний в RLC-контуре.

Общее решение уравнения

Общее решение данного уравнения состоит из суммы двух слагаемых:

  1. Общее решение однородного уравнения (свободные колебания):

    qсв(t) = Ae−γtcos (ω0t + ϕ)

    где $\gamma = \frac{R}{2L}$, $\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \gamma^2}$ — собственная частота затухающих колебаний.

  2. Частное решение неоднородного уравнения (вынужденные колебания):

    qвын(t) = Qcos (ωt − ψ)

Таким образом, полное решение:

q(t) = qсв(t) + qвын(t)

С течением времени свободная часть убывает из-за экспоненциального затухания, и остаются только установившиеся вынужденные колебания.

Комплексный метод решения

Удобно использовать метод комплексных амплитуд. Представим ЭДС в виде:

ℰ(t) = Re[ℰ0eiωt]

Ищем ток в виде:

I(t) = Re[Îeiωt]

Подставим в уравнение Кирхгофа:

$$ L \frac{d\hat{I} e^{i\omega t}}{dt} + R \hat{I} e^{i\omega t} + \frac{1}{C} \int \hat{I} e^{i\omega t} dt = \mathcal{E}_0 e^{i\omega t} $$

После упрощений получаем:

$$ \hat{I} \left( i\omega L + R - \frac{i}{\omega C} \right) = \mathcal{E}_0 $$

Комплексное сопротивление цепи:

$$ Z = R + i\left(\omega L - \frac{1}{\omega C} \right) $$

Следовательно:

$$ \hat{I} = \frac{\mathcal{E}_0}{Z} = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}} e^{-i\psi} $$

Где:

$$ \tan \psi = \frac{\omega L - \frac{1}{\omega C}}{R} $$

Таким образом, установившийся ток:

$$ I(t) = I_0 \cos(\omega t - \psi), \quad I_0 = \frac{\mathcal{E}_0}{\sqrt{R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\omega C} \right)^2}} $$

Резонанс токов

При изменении частоты ω амплитуда установившегося тока I0 достигает максимума, когда знаменатель в выражении для I0 минимален. Это происходит при:

$$ \omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} $$

В этом случае реактивные сопротивления индуктивности и ёмкости взаимно компенсируются:

$$ \omega L = \frac{1}{\omega C} $$

Цепь ведёт себя как чисто резистивная, а ток:

$$ I_{\text{рез}} = \frac{\mathcal{E}_0}{R} $$

Резонанс тока сопровождается максимальным током в цепи и минимальной фазовой разностью между током и напряжением.

Фазовая диаграмма и сдвиг фаз

В общем случае, фаза тока отстаёт или опережает фазу напряжения в зависимости от характера реактивности:

  • если ω < ω0, то ёмкостная реактивность преобладает, ψ < 0;
  • если ω > ω0, то индуктивная реактивность преобладает, ψ > 0;
  • при резонансе ω = ω0, ψ = 0, ток и напряжение совпадают по фазе.

Коэффициент добротности

Характеристика RLC-контура при резонансе — добротность Q, определяемая как:

$$ Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} $$

Добротность показывает отношение энергии, запасённой в колебательной системе, к энергии, теряемой за один цикл. Чем выше Q, тем более резким и узким является резонанс.

Полоса пропускания и селективность

Полоса частот, на которой ток остаётся значительным (не менее $\frac{1}{\sqrt{2}}$ от максимального), называется полосой пропускания:

$$ \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{R}{L} $$

где ω1 и ω2 — частоты, при которых амплитуда тока падает до $\frac{I_{\text{рез}}}{\sqrt{2}}$.

Чем выше добротность Q, тем уже полоса пропускания:

$$ Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} $$

Это свойство делает контур селективным фильтром, способным выделять сигналы с определённой частотой.

Резонанс напряжений

В последовательном RLC-контуре, несмотря на то что напряжение источника остаётся неизменным, напряжения на элементах L и C при резонансе могут многократно превышать его:

$$ U_L = I_{\text{рез}} \cdot \omega_0 L = Q \mathcal{E}_0, \quad U_C = I_{\text{рез}} \cdot \frac{1}{\omega_0 C} = Q \mathcal{E}_0 $$

Это явление называется резонансом напряжений и используется, например, в радиотехнике для усиления сигналов нужной частоты.

Графическое представление: резонансная кривая

График зависимости амплитуды тока I0 от частоты ω имеет характерный вид:

  • на низких частотах — ток мал из-за большой ёмкостной реактивности;
  • при ω ≈ ω0 — резкий пик (резонанс);
  • на высоких частотах — ток снова уменьшается из-за преобладания индуктивной реактивности.

Чем выше добротность, тем острее и уже пик резонансной кривой.

Практические применения

  • В радиоприёме: для настройки на конкретную частоту (селекция радиосигналов).
  • В фильтрах: создание полосовых фильтров на заданную частоту.
  • В измерительной технике: резонанс позволяет измерять параметры элементов по резонансной частоте.
  • В колебательных системах: формирование и усиление колебаний заданной частоты.

Энергетические соотношения

Мгновенная мощность, потребляемая цепью:

P(t) = ℰ(t) ⋅ I(t)

Средняя мощность:

$$ \langle P \rangle = \frac{1}{2} \mathcal{E}_0 I_0 \cos \psi $$

При резонансе cos ψ = 1, и средняя мощность максимальна:

$$ \langle P_{\text{max}} \rangle = \frac{1}{2} \mathcal{E}_0 I_{\text{рез}} = \frac{1}{2} \frac{\mathcal{E}_0^2}{R} $$

Показано, что только резистор потребляет активную мощность, тогда как индуктивность и ёмкость лишь накапливают и возвращают энергию.

Роль сопротивления

Сопротивление R определяет:

  • степень затухания свободных колебаний;
  • ширину резонансной кривой;
  • уровень максимального тока при резонансе;
  • добротность и энергетическую эффективность контура.

Таким образом, сопротивление — ключевой параметр, определяющий поведение вынужденных колебаний.

Оглавление